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Suite (un)

Posté par
sunshine213
24-09-17 à 18:48

Bonjour à tous !
Voilà j'ai un exercice dont je comprends pas la fin.
voici l'énoncé :
Soit la suite (un) définie sur N* par u1 = 0 et un+1= un+3n²-3n+1
1. Calculer  u2 et u3 en détaillant les calculs.
2. Compléter le tableau ci-dessous :

n      1            2          3            4              5            6

un

3. Conjecturer alors l'expression de un en fonction de n.
4. Démontrer cette conjecture par récurrence.

voilà ce que j'ai fais :
1. u2 = 0+3*2²-3*2+1
=7
u3=7+3*3²-3*3+1
=26

2.
n          1      2           3           4             5          6

un     0        7         26         63        124     215

Et pour la suite je bloque totalement ! Pourriez vous m'aider ?

Posté par
carita
re : Suite (un) 24-09-17 à 19:04

bonsoir

erreur dans tes calculs
un+1= un+3n²-3n+1

u2 =  u1+1 =

Posté par
sunshine213
re : Suite (un) 24-09-17 à 19:06

comment ça ?

Posté par
sunshine213
re : Suite (un) 24-09-17 à 19:15

carita ?

Posté par
carita
re : Suite (un) 24-09-17 à 19:15

pour calculer u2,  à partir de la définition par récurrence,  on prend  n=1  

u2 = u(1+1) = u1+3 * 1²- 3*1+1 = ...

quand tu auras rempli le tableau, tu pourras conjecturer l'expression en fonction de n

Posté par
sunshine213
re : Suite (un) 24-09-17 à 19:22

Ahhh d'accord merci beaucoup !

Donc ça me donne :
u2 = u(1+1) = u1+3 * 1²- 3*1+1 = 1
u3 = u (2+1) = u2 +3 *2²-3*2+1 = 8

Pour le tableau :

n          1      2           3           4             5          6

un        0      1          8         27          64         125

c'est ça ?

Posté par
carita
re : Suite (un) 24-09-17 à 19:22

exact
et ça te fait penser à quoi, cette suite de nombres ?

Posté par
sunshine213
re : Suite (un) 24-09-17 à 19:25

j'ai l'impression que c'est par rapport à 8 mais j'ai du mal à trouver

Posté par
carita
re : Suite (un) 24-09-17 à 19:27

pourquoi 8 ?

Posté par
sunshine213
re : Suite (un) 24-09-17 à 19:28

je sais pas je pensais que c'était des multiple de 8 fin je sais c'est idiot

Posté par
carita
re : Suite (un) 24-09-17 à 19:30

bah oui, pas terrible cette idée

pense au cube...

Posté par
sunshine213
re : Suite (un) 24-09-17 à 19:47

c'est à dire ? je dois les mettre au cube ?

Posté par
carita
re : Suite (un) 24-09-17 à 19:49

donne-moi la liste des cubes des premiers entiers naturels, pour voir...

Posté par
sunshine213
re : Suite (un) 24-09-17 à 19:53

2^3= 8,  3^3 =27, 4^3=64, 5^3=125..

Posté par
carita
re : Suite (un) 24-09-17 à 20:03

ben oui c'est ça, pourquoi? tu hésites ?

n          1      2           3           4             5          6...

un        0      1          8         27          64         125...
=
un        0³      1³        2³        3³          4³         5³...

à présent, exprime un (terme de rang quelconque n) directement en fonction de n.
quelle expression tu trouves ?

Posté par
carita
re : Suite (un) 24-09-17 à 20:08

pour ta conjecture, étudie le cas particulier de n=0...
je reviens te lire + tard

Posté par
sunshine213
re : Suite (un) 24-09-17 à 20:09

Un=n^3 ?

Posté par
carita
re : Suite (un) 24-09-17 à 20:45

hum... vérifie ta conjecture, par le calcul

tu dis un = n³
donc
u1 = ..?
u2 = ...?
qu'en penses-tu ?

Posté par
sunshine213
re : Suite (un) 24-09-17 à 20:48

u1= 1^3=1
u2= 2^3 = 8
u3= 3^3=27

Ca me semble bon ?

Posté par
carita
re : Suite (un) 24-09-17 à 20:50

relis ce que tu as écrit à 19h22

Posté par
sunshine213
re : Suite (un) 24-09-17 à 20:59

ce sont les nombres du tableau ?

Posté par
carita
re : Suite (un) 24-09-17 à 21:01

non
pour moi u1 = 0,   u2 = 1
donc ça marche pas

que dois-tu changer pour que "ça marche" ?

Posté par
sunshine213
re : Suite (un) 24-09-17 à 21:05

un+1=n^3 ? c'est ça ?

Posté par
carita
re : Suite (un) 24-09-17 à 21:07

presque ça, en effet il y a un décalage
on te demande un en fonction de n, donc c'est un = ....?

Posté par
sunshine213
re : Suite (un) 24-09-17 à 21:07

un=n+1^3 ?

Posté par
carita
re : Suite (un) 24-09-17 à 21:08

c'est pas n+1...

Posté par
carita
re : Suite (un) 24-09-17 à 21:09

si tu laisses un=(n+1)^3

on aurait par ex
u2 = 3^3 = 27 ??

Posté par
sunshine213
re : Suite (un) 24-09-17 à 21:20

un=un+1^3 ?

Posté par
carita
re : Suite (un) 24-09-17 à 21:24

tu as lu mon message de 21h09 ?

Posté par
sunshine213
re : Suite (un) 24-09-17 à 21:27

ah excuse moi !
un= 1+n^3

Posté par
sunshine213
re : Suite (un) 24-09-17 à 21:28

euh... non c'est pas ça non plus

Posté par
sunshine213
re : Suite (un) 24-09-17 à 21:29

bah alors un+1=n^3 ?

Posté par
carita
re : Suite (un) 24-09-17 à 21:30

un = (n-1)^3   --- voilà la conjecture !

enfin presque... que se passe-t-il pour u0  ?
est-ce que ça va marcher ?

Posté par
sunshine213
re : Suite (un) 24-09-17 à 21:35

u0= (0-1)^3=-1
alors un = (n+1)^3
u0= (0+1)^3=1
u1=(1+1)^3=8

c'est ça ?

Posté par
carita
re : Suite (un) 24-09-17 à 21:41

désolée, j'ai fait confusion, u0 n'existe pas

donc la conjecture est valable pour tout n, et tu dois démontrer par récurrence que
qq soit nN    un = (n-1)^3  

suis les étapes détaillées dans le cours.

Posté par
carita
re : Suite (un) 24-09-17 à 21:45

on pourra poursuivre demain si tu préfères.

Posté par
sunshine213
re : Suite (un) 24-09-17 à 21:50

Pas de soucis

Posté par
carita
re : Suite (un) 24-09-17 à 21:51

ok bonne nuit
je reviens demain

Posté par
malou Webmaster
re : Suite (un) 21-12-17 à 12:53

sunshine213, le petit frère ou la petite soeur de cinquième fait des bêtises...si tu as un souci lors de la reconnexion, mets moi un mail direct sur ma boîte...si je suis là, je regarderai tout de suite

Posté par
alainpaul
re : Suite (un) 22-12-17 à 10:25

Bonjour Malou,

Après avoir reconnu  3 termes du développement ,au signe près, de (n-1)^3

nous pouvions écrire:u_{n+1}-n^3=u_n-(n-1)^3=. . . =u_1=0

Cela ne suis pas le GPS proposé à l'élève,bien sûr ,mais ne serait-il pas souhaitable
de montrer parfois comment l'énoncé a été construit et rappeler des produits remarquables du 3 è degré  :a^3-b^3,(a+b)^3,(a-b)^3  ?


Alain



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