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Suites
Bonjour,
J'ai besoin d'aide pour cet exercice sur les suites.
On définit deux suites:
un=(1+1/n)n et vn=(1+1/n)n+1
1) A l'aide de l'inégalité des accroissement finis, montrer
que :
(1/(n+1)) 
ln(n+1)-ln(n) 1/n
2) en déduire que
n*ln(1+1/n) 1 (n+1)*ln(1+1/n)
puis un e vn
Merci de votre aide, car j'en ai vraiment besoin
Bonjour
Soit f(x)=ln(x)
On a f'(x)=1/x
Donc sur l'intervalle [n;n+1]; 1/(n+1) <= f'(x) <= 1/n.
Donc d'après l'inégalité des accroissements finis:
m(b-a) f(b)-f(a) M(b-a)
avec a=n et b= n+1, on obtient l'inégalité souhaitée.
Pour la deuxième question il faut remarquer que :
ln(n+1)=ln(n)+ln(1+1/n)
soit
(1/(n+1)) ln(1+1/n) 1/n
Donc (1/(n+1)) ln(1+1/n)
soit 1 (n+1)ln(1+1/n)
et ln(1+1/n) 1/n
donc nln(1+1/n) 1
On en déduit l'inégalité 2).
Il suffit ensuite de prendre l'exponentielle de chaque membre de
l'inégalité, ce qui ne change pas le sens car la fonction exponentielle
est croissante.
@+
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