J'ai besoin d'un petit coup de main sur un exo qui est le suivant :
Soit E un ensemble n éléments
a) on choisit un élément a quelconque dans E
Expliquer pourquoi il y a autant de parties de E qui ne contiennent pas a que de parties de E qui contiennent a
b) utiliser la propriété établie dans la précédente question pour démontrer par récurrence qu'un ensemble de n éléments possède 2^(n) parties
^ = puissance
Aidez moi svp. Merci d'avance
Bonjour Chevanton,
A prendre avec des pincettes le dénombrement n'a jamais été mon fort)
pour la question 1 : si le nombre de partie de E/{a} est noté N, le nombre de parties de E contenant a est consitué de toutes les parties déjà énumérés auquel on ajoute l'élément a (grosses pincettes) et donc il y en aurait aussi N.
Pour la deuxième question :
il y a deux méthodes :
première méthode avec la formule de Newton :
Soit p un entier compris entre 0 et n il y a exactement Cnp partie de E comportant p éléments(correspond au nombre de façons de choisir ces p éléments parmi les n).
Le cardinal des parties de E est compris entre 0 et n.
et card (P(E))=p[o;n]Cnp
or p[o;n]Cnp=p[o;n]Cnp1p1n-p=(1+1)n=2n
d'où card (P(E))=2n
deuxième méthode la récurrence : on note En un ensemble E à n éléments.
soit pour n entier la propriété P(n) "card (P(E))=2n"
P(0) est vérifié puisque E= et donc la seule partie que l'on peut avoir est E donc est bien au nombre de 1
Soit n un entier tel que P(n) soit vérifiée.
Notons En+1=En{a} où a n'est pas un élément de En alors En+1 a bien (n+1) éléments.
Les parties de En ne comportant pas a sont celles de En donc il y en a à priori 2n celle qui contienne a sont celle qu'on a révélé à la ligne du dessus auquelle on ajoute a donc à priori il y en a aussi 2n si bien que card(En+1)=2n+2n=2n+1
Donc P(n) implique P(n+1)
Donc pour tout n P(n) est vraie.
Sans aucune garantie.
Salut
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