Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau terminale
Partager :

Suites

Posté par Chevanton (invité) 18-09-04 à 13:23

J'ai besoin d'un petit coup de main sur un exo qui est le suivant :

Soit E un ensemble n éléments
a) on choisit un élément a quelconque dans E
Expliquer pourquoi il y a autant de parties de E qui ne contiennent pas a que de parties de E qui contiennent a
b) utiliser la propriété établie dans la précédente question pour démontrer par récurrence qu'un ensemble de n éléments possède 2^(n) parties
^ = puissance

Aidez moi svp. Merci d'avance

Posté par Chevanton (invité)re : Suites 18-09-04 à 14:59

Aidez moi svp please

Posté par Chevanton (invité)re : Suites 18-09-04 à 16:43

Up

Posté par
dad97 Correcteur
re : Suites 18-09-04 à 17:16

Bonjour Chevanton,

A prendre avec des pincettes le dénombrement n'a jamais été mon fort)

pour la question 1 : si le nombre de partie de E/{a} est noté N, le nombre de parties de E contenant a est consitué de toutes les parties déjà énumérés auquel on ajoute l'élément a (grosses pincettes) et donc il y en aurait aussi N.

Pour la deuxième question :

il y a deux méthodes :

première méthode avec la formule de Newton :

Soit p un entier compris entre 0 et n il y a exactement Cnp partie de E comportant p éléments(correspond au nombre de façons de choisir ces p éléments parmi les n).
Le cardinal des parties de E est compris entre 0 et n.

et card (P(E))=p[o;n]Cnp

or p[o;n]Cnp=p[o;n]Cnp1p1n-p=(1+1)n=2n
d'où card (P(E))=2n

deuxième méthode la récurrence : on note En un ensemble E à n éléments.

soit pour n entier la propriété P(n) "card (P(E))=2n"

P(0) est vérifié puisque E= et donc la seule partie que l'on peut avoir est E donc est bien au nombre de 1

Soit n un entier tel que P(n) soit vérifiée.
Notons En+1=En{a} où a n'est pas un élément de En alors En+1 a bien (n+1) éléments.
Les parties de En ne comportant pas a sont celles de En donc il y en a à priori 2n celle qui contienne a sont celle qu'on a révélé à la ligne du dessus auquelle on ajoute a donc à priori il y en a aussi 2n si bien que card(En+1)=2n+2n=2n+1
Donc P(n) implique P(n+1)
Donc pour tout n P(n) est vraie.

Sans aucune garantie.

Salut



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !