U(n+1) = V(2+U(n))

Si U(n) > 2, U(n+1) > V(2+2) = 2
Donc si U(n) > 2, on a aussi U(n+1) > 2
Comme U(0) > 2 -> tous les termes de la série sont > 2.  (1)

U(n+1) - U(n) = V(2+U(n)) - U(n)

U(n+1) - U(n) = (V(2+U(n)) - U(n))(V(2+U(n)) + U(n))/(V(2+U(n)) + U(n))
U(n+1) - U(n) = (2+U(n)-(U(n))²)/(V(2+U(n)) + U(n))

U(n+1) - U(n) = -(U(n) + 1)(U(n)-2) /(V(2+U(n)) + U(n))

(U(n) + 1) /(V(2+U(n)) + U(n)) est toujours > 0 ->
U(n+1) - U(n) a le signe de (2 - U(n))
Et par (1) ->
U(n+1) - U(n) < 1
U(n+1) < U(n)
La suite est décroissante.
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U(n+1) = U(n) .(2-U(n))

f(x) = x.(2-x)
f(x) = -x² + 2x
f '(x) = -2x + 2 = -2(x-1)

f '(x) < 0 pour x dans [0 ; 1[ -> f(x) croissante.
f '(x) = 0 pour x = 1
f '(x) > 0 pour x dans ]1 ; 2] -> f(x) décroissante.
f(x) a un max pour x = 1, ce max vaut f(1) = 1

Si 0 <= U(n) <= 1, f(U(n)) a un maximum = 1.
Ir f(U(n)) =  U(n) .(2-U(n)) = U(n+1)

Donc si 0 <= U(n) <= 1, U(n+1) a un maximum = 1.  
Comme 0 <= U(0) <= 1, tous les termes de la suite sont <= 1.
Et 2-U(n) >= 0 et U(n) >= 0 entraîne U(n+1) >= 0.

Donc tous les termes de la suite sont compris dans [0 ; 1]   (1)


U(n+1) = U(n) .(2-U(n))
U(n+1)/U(n) = (2-U(n))

Avec (1), U(n+1)/U(n) >= 1

U(n+1) >= U(n)
Donc Un est croissant et 0 <= Un <= 1

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Sauf distraction.