Bonjour,

la première question est la plus simple: il suffit de se souvenir de la formule de la somme des termes d'une suite géométrique


Pour la seconde question, on appellera c'est une somme de fonctions croissantes sur R+, elle est donc croissante
Tu sais que
Tu sais que donc
Comme la fonction est croissante cela permet de dire que x_n+1< x_n

Pour la question 3
La question 2 te permet de conclure que 0 < x_n < x₃ < x₂
Que vaut x₂?
Tu as alors 0 < x_nⁿ<x₃ⁿ  
Quelle est la limite de x₃ⁿ?
Quelle est la limite de x_nⁿ ?
Or x_nⁿ = 2x_n-1
tu devrais pouvoir en déduire la limite de x_n

Bon courage

1)
S(n) = 1 + x + x² + x³ + ... + x^(n-1)
est la somme de n termes en progression géométrique de raison x et de premier terme = 1
->
S(n) = (x^n - 1)/(x-1)

S(n) = 2 si (x^n - 1)/(x-1) = 2
x(n)^n - 1 = 2x(n) - 2
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2)
Pour une même valeur de x: S(n+1) = S(n) + x^n

Et donc S(n+1) > S(n) (Pour une même valeur de x)

Il faut donc avoir x(n+1) < x(n) pour que  S(n+1) = S(n)
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3)
S(2) = 1 + x
S(2) = 2 -> x(2) = 1
Et comme x(n+1) < x(n), X(n) < 1 pour n > 2.

lim(n ->oo) S(n) = lim(n->oo) [(x^n - 1)/(x-1)]

Avec x < 1,  lim(n->oo) [(x^n)] = 0 et donc:

lim(n ->oo) S(n) = lim(n->oo) (-1/(x-1)]
Si cette limite = 2 -> xn tends L avec :  (-1/(L-1)) = 2
L-1 = -1/2
L = 1/2

Donc lim(x->oo) xn = 1/2
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Sauf distraction.  

Merci beaucoup pour votre aide je comprend mieux maintenant