Une suite périodique est une suite dont les termes se répètent périodiquement.

Autrement dit, on dit que la suite xn est périodique si
pour tout n de N , on a x(n) = x(n+T)   avec "T" un entier > 0

donc je dois fixer un T quelconque et en déduire une condition sur a et b? est ce que le premier terme influe sur la périodicité?

Je te donne un exemple simple de suite périodique (qui n'a rien a voir avec ton exercice)


U(n+1) = 1/U(n) et U(0) un complexe quelconque mais différent de 0

Donc:
U0 = a+ib
U1 = 1/(a+ib)
U2 = 1/U1 = a + ib = U(0)
U3 = 1/U2 = 1/(a + ib) = U(1)
...

On a donc U(n) = U(n+2) pour tout n de N. La suite est périodique de période 2.
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Dans le cas de la suite x(n+1)= ax(n)+b avec x(0) complexe, je ne vois pas comment elle pourrait être périodique.
Mais il est possible que je me plante.
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Ce ne serait pas non plus la première fois que les définitions mathématiques changent au cours des années, il faudrait qu'un "jeune" mathématicien dise si les définitions que j'ai données des suites périodiques (correctes il y a 30 ans), n'ont pas évolués aujourd'hui.

en notant S(i=x)(y) a(i) la somme de a indice i, i allant de x à y
et a^i : a puissance i

on a pour tout n :
u(n) = (a^n)*x(0) + b*S(i=0)(n-1) a^i
à démontrer par récurrence simple

D'où : si la suite est périodique de période T à partir du rang m, pour tout n > m :
u(n+T)-u(n) = 0
soit [(a^(n+T))*x(0) + b*S(i=0)(n+T-1) a^i]-(a^n)*x(0) - b*S(i=0)(n-1) a^i = 0
soit (a^n)*x(0)*(a^T-1) + b*S(i=n)(n+T-1) a^i = 0
et donc en divisant par a^n
x(0)*(a^T-1) + b*S(i=0)(T-1) a^i = 0

première conclusion : si une telle suite est périodique, elle l'est dès x(0).
il suffit alors par exemple que b=0 et a^T=1, i.e. a = exp (i*2*pi/T)
mais tout triplet (a, x(0), b) vérifiant l'équa ci-dessus convient.

par exemple, x(0)=1 ; a=4 et b=-3 on a la suite 1, 1, 1, ...

en fait on a toujours T=1 !

en effet la condition nécessaire est
x(0) = b*S(i=0)(T-1) a^i divisé par (1-a^T)
et alors x(1) = ax(0)+b = x(0) ...