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suites
bonsoir, 
j'ai un exercice sur les suites et récurrence, et je voudrais pour que vous m'aidiez a le faire car je ne suis pas sûre que j'ai tout juste :
Voici l'énoncé ;
on considere la suite U définie par Uo=2 et, pour tout entier naturel n,
U(n+1)=(5Un-1)/(Un+3).
SVP VOIR L'IMAGE SCANNEE
** image supprimée **
Bonsoir,
Méthode 1 :
a)
Un+1 = (5Un-1)/(Un+3) = (5Un+15 - 16)/(Un+3) = (5(Un+3) - 16)/(Un+3) = 5 - [16/(Un+3)] pour tout n 
N
b)
Montrons par récurrence que 1 
Un 2 pour tout n N :
Vrai au rang 0 car 1 U0 = 2 2
Si Vrai au rang n
Alors 1 Un 2
Alors 4 Un+3 5
Alors 1/5 1/(Un+3) 1/4
Alors 16/5 16/(Un+3) 16/4
Alors 16/5 16/(Un+3) 4
Alors -4 -16/(Un+3) -16/5
Alors 1 5-[16/(Un+3)] 9/5 2
Alors 1 Un+1 2
Alors Vrai au rang n+1
c)
Un+1-Un = (5Un-1)/(Un+3) - (U²n+3Un)/(Un+3) = (5Un-1-U²n-3Un)/(Un+3) = (-U²n+2Un-1)/(Un+3) = -(U²n-2Un+1)/(Un+3) = -(Un-1)²/(Un+3) 0
Donc U est décroissante
d)
U est décroissante et minorée (par 1), donc converge vers une limite finie L
En passant à la limite la relation Un+1-Un = -(Un-1)²/(Un+3), on a : L-L = -(L-1)²/(L+3)
Donc (L-1)²/(L+3) = 0
Donc (L-1)² = 0
Donc L-1 = 0
Donc L = 1
Méthode 2 :
a)
Un+1-1 = (5Un-1)/(Un+3) - (Un+3)/(Un+3) = (5Un-1-Un-3)/(Un+3) = (4Un-4)/(Un+3)
Donc Vn+1 = 1/(Un+1-1) = (Un+3)/(4Un-4) = (4 + Un-1)/(4Un-4) = 4/(4Un-4) + (Un-1)/(4Un-4) = 1/(Un-1) + (1/4) = Vn + (1/4) pour tout n N
Donc V est arithmétique de raison 1/4
b)
V0 = 1/(U0-1) = 1
Vn = V0+(1/4)n = 1+(n/4) = (4+n)/4 = (n+4)/4
Vn = 1/(Un-1)
Donc Un-1 = 1/Vn = 4/(n+4)
Donc Un = 1 + 4/(n+4) = (n+4)/(n+4) + 4/(n+4) = (n+4+4)/(n+4) = (n+8)/(n+4)
c)
Un = (n+8)/(n+4) pour tout n N
Donc U converge vers 1
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