Bonjour jai un dm a faire pr demain et je bloque sur certaines question. ce serait gentil si qqun pourrait maider. merci davance
soit Un la suite définie par Uo=6
U(n+1)=1/4Un-3
sachant que Un est minorée par -4; (Un) est-elle bornée?
PUIS ON POSE Vn= Un+4 une suite geometrique
il faut calculer Vn pui Un en fonction de net determiner la limite de la suite Un.
PUIS ON POSE Vn= Un+4 une suite geometrique
il faut calculer Vn pui Un en fonction de n et determiner la limite de la suite Un.
salut
pour tout n dans N u(n)>=-4.
montrons que si 0>=u(n) alors 0>=u(n+1)
si 0>=u(n)>=-4
alors 4*0-3>=4*u(n)-3>=-19
donc -3>=4*u(n)-3>=-19
la fonction x-> 1/x est decroissante sur R*- donc
-1/19>=u(n+1)>=-1/3
donc 0>=u(n+1)
u(0)=6
u(1)=1/(21)
u(2)=-21/59
d'apres ce qui a ete dis plus haut :
pour tout n>=2 0>=u(n)>=-4
donc pour tout n>=2 |u(n)|=<4
or u(0)=6 u(1)=1/21 donc pour tout n, |u(n)|=<6.
donc u est majoree.
la derniere ligne c'est donc u est bornee.
par contre la deuxieme question, tu peux verifier V(n),
s.v.p.
pour u(n), c'est bien u(n+1)=1/[4u(n)-3] ?
Je te remercie bcp minotaure
pour la 2eme question c'est bien ça
et en fait U(n+1)=(1/4) * Un -3 ou si tu préfere (Un/4) -3
soit n dans N
montrons que si 0>=u(n) alors 0>=u(n+1)
0>=u(n)
donc -3>=u(n)/4-3
donc 0>=-3>=u(n+1)
u(0)=6
u(1)=-3/2
donc pour tout n>=1, 0>=u(n)>=-4
donc pour tout n>=1, |u(n)|=<4
or u(0)=6 donc pour tout n dans N |u(n)|=<6.
donc la suite u est bornee.
v(n)=u(n)+4
v(n+1)=[u(n+1)+4]/[u(n)+4]=[u(n)/4+1]/[u(n)-4]=1/4
car u(n) different de 4 car u(0)=6 est le seul terme positif d'apres ce qui a ete vu plus haut.
donc v est une suite geometrique de raison 1/4.
v(0)=6+4=10
donc pour tout n dans n ,v(n)=10*(1/4)^n
or v(n)=u(n)+4
donc u(n)=v(n)-4=10*(1/4)^n-4
la suite v est une suite geometrique de raison 1/4<1 donc elle converge et elle converge vers 0.
donc la suite u converge et elle converge vers -4.
a+
Merci de m'avoir aider minotaure.
je voudrais savoir comment je pourrais montrer que (Un) est décroissante.
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