Bonjour à tous, je souhaiterais avoir des explications pour pouvoir résoudre cet exercice.
Soit f la fonction définie pour x>1/2 par f(x)=x²/(2x-1)
1. Démontrer que, pour tout x>1,f(x)>1
On peut donc définir ma suite (Un)par:
(U0=2
(U(n+1)=f(Un), pour tout entier naturel n.
On propose dans la suite de l'exercice d'exprimer Un en fonction de n.
On considère les suites (Vn) et (Wn) teles que, pour tout entier naturel n, Vn=(Un-1)/Un et Wn=ln(Vn)
2. Vérifier que Vn et Wn sont définies pour tout entier naturel n.
3. Démontrer que la suite (Wn) est une suite géométrique.
4. Exprimer, pour tout entier naturel, Wn puis enfonction de n et en déduire Un=1/(1-(1/2)^(2n))
Merci d'avance à tous ceux qui pourront m'aider.

salut
1.pour tout x >1 on a (x-1)^2>0 donc x^2>2x-1
et comme x>1 on a meme x^2>2x-1>0
donc x^2/(2x-1)>1 donc f(x)>1.

2.
remarque d'apres la question 1 et du fait de la definition de la suite (Un), il est clair que pour tout n dans N , U(n)>1
(si tu ne le vois pas, fais un raisonnement par recurrence)

(Vn) est bien definie car pour tout n Un>1>0
donc pour tout n dans N V(n)>0
donc (Wn) est bien definie.

3. W(n+1)/W(n)=ln(V(n+1))/ln(V(n))=ln[(U(n+1)-1)/U(n+1)]/ln[(U(n)-1)/U(n)]

[U(n+1)-1]/U(n+1)=[f(Un)-1]/f(Un)=[Un^2/(2Un-1) -1]/[Un^2/(2Un-1)]=[Un - 1]^2/Un^2

donc ln[(U(n+1)-1)/U(n+1)]=2*ln[(U(n)-1)/U(n)]

donc W(n+1)/W(n)=2

donc la suite (Wn) est la suite geometrique de raison 2 et de premier terme W(0)=ln[V(0)]=ln[(U0-1)/U0]=ln(1/2)

4.donc pour tout n dans N , W(n)=[ln(1/2)]*2^n

or W(n)=ln(V(n)) donc V(n)=e^{[ln(1/2)]*2^n}={e^[ln(1/2)]}^[2^n]
donc V(n)=(1/2)^[2^n]

or V(n)=[Un -1]/Un

donc Un*[Vn - 1]=-1
donc Un=1/[1-Vn]

donc pour tout n dans N on a U(n)=1/[1-(1/2)^[2^n]]

verifie ton enonce pour la derniere question...
car ce qui est demandé de trouver en 4 (l'ecriture de Un explicite donc) n'est pas bonne car pour n=0 on se retrouve avec une division par zero contrairement a la mienne...
a+