salut
2) 1 ere methode on cherche un encadrement "large" :
pour tout n dans N 2>=U(n)>=-1
raisonnement par recurrence sur n.
pour n=0 ok
soit n tel que 2>=U(n)>=-1.
on regarde U(n+1) comme cela :
2>=U(n)>=-1
4>=U(n)+2>=1
ln(4)>=ln(U(n)+2)>=0 car x-> ln(x) est croissante sur R+*.
or ln(4)=1,38...
donc 2>=U(n+1)>=-1

donc pour tout n dans N 2>=U(n)>=-1.
mais ceci n'est pas un bon encadrement et cela pose probleme pour la question suivante.

le mieux :

on etudie f definie sur [-1,2] par f(x)=ln(x+2)-x
derivee,tableau de variations...
dichotomie...
il existe a dans [-1,2] tel que f(a)=0.

puis on montre que pour tout n dans N a>=U(n)>=-1.
pour n=0 ok.
soit n tel que a>=U(n)>=-1.
a+2>=U(n)+2>=1
donc ln(a+2)>=ln(U(n)+2)>=0
or ln(a+2)=a donc a>=U(n+1)>=0>=-1
donc pour tout n dans N a>=U(n)>=-1.

on reprend ensuite le tableau de variation :
on montre que pour tout x dans [-1,a] f(x)>=0.

montrons ensuite que U est croissante.
soit n dans N. on calcule U(n+1)-U(n)=ln(U(n)+2)-U(n)=f(U(n))
or U(n) est dans [-1,a] donc f(U(n))>=0
donc U(n+1)-U(n)>=0 => la suite U est croissante.

4) la suite U est croissante et bornee (en particulier MAJOREE) consequence elle converge.soit l sa limite.
comme a>=U(n)>=-1 on a a>=l>=-1

(U(n)) converge vers l, tout comme la suite extraite (U(n+1))
comme x->ln(x+2) est continue sur [-1,a] on a :
l=ln(l+2)
donc ln(l+2)-l=0=f(l). l est solution de l'equation f(x)=0 et l est dans [-1,a].
or l'equation f(x)=0 n'admet qu'UNE solution dans [-1,a] : c'est a.
donc l=a.
donc la suite U converge vers a.

approximation de a :1,146 a 10^-3 pres par defaut.

a+