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suites
Salut! Vous pouvez m'aider svp
Un jardinier tond sa pelouse tous les samedis, et recueille à chaque fois 120L de gazon qu'il stocke dans un bac à compost de 300 litres.
Chaque semaine les matières stockées perdent pas décomposition , ou prélèvement, les 3/4 de leur volume.
On appelle le volume en litres stocké le n-ième samedi de tonte.
1/Exprimer en fontion de
.
Cette suite est-elle arithmétique ou géométrique?
2/On définit, pour tout entier n >ou= 1 , le nombre par
=160-
.
Démontrer que la suite (tn) est géométrique et préciser son premier terme et sa raison.
3/Exprimer tn en fonction de n et en déduire le terme général de la suite (Vn).
4/Les conditions restant les memes, le bac de stockage sera t-il un jour rempli?
Je suis resté blocké à la 1ère question.
Merci d'avance
salut.
1)n=1 V(1)=120
n=2 V(2)=V(1)*(1-3/4)+120=V(1)/4 + 120
donc V(n+1)=V(n)/4+120.
est elle arithmetique ? V(n+1)-V(n)=-3*V(n)/4+120 comme V(n) non constant le difference V(n+1)-V(n) n'est pas constante.
reponse : non.
geometrique ?
V(n+1)/V(n)=1/4 + 120/V(n) comme V(n) non constant le rapport est non constant donc reponse : non.
conclusion : ni goemetrique ni arithmetique.
3) on calcule t(n+1)/t(n)=(160-V(n+1))/(160-V(n))=(40-V(n)/4)/(160-V(n))=1/4
t est geometrique de raison 1/4 et de premier terme t1=160-V(1)=160-120=40
donc pour tout t>=1 t(n)=(1/4)^(n-1)*V(1)=(1/4)^(n-1)*40
or t(n)=160-V(n) donc V(n)=160-[(1/4)^(n-1)]*40
derniere question on resoud V(n)=300
on arrive a 140=-[(1/4)^(n-1)]*40 comme -[(1/4)^(n-1)]*40 est toujours negatif pas de solution : le bac n'est jamais plein.
d'ailleurs on arrive au plus a 160 litres.
a+
160-V(n)=4*(40-V(n)/4)
donc (40-V(n)/4)/(160-V(n))=(1/4)* (40-V(n)/4)/(40-V(n)/4)=(1/4)
remarque :
a t on n dans N tel que V(n+1)=160 ?
non car sinon V(n+1)=160 donc 160=V(n)/4+120 donc V(n)=160
si V(n+1)=160 alors V(n)=160 et ainsi V(1)=160 ce qui n'est pas.
donc V(n) different de 160 donc le rapport t(n+1)/t(n) est bien definie et dans (40-V(n)/4)/(160-V(n))=(1/4)* (40-V(n)/4)/(40-V(n)/4) on peut simplifier.
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