bonjour,
j'ai un excercice à faire mais je n'arrive pas à commencer la première question:
Soient A1,...An* et soient a1,...an distinct. Montrer que l'équation
A1/x-a1 + A2/x-a2 +...+ An/ x-an = 0
admet n-1 racines réelles distinctes.
merci d'avance
Bonsoir,
Pose f(x) = A1/(x-a1) + A2/(x-a2) +...+ An/(x-an)
f possède n asymptotes verticales en a1, a2,...an.
Ce qu'il faut voir, c'est que, les Ai étant positifs, f est en - à gauche de chaque asymptote, et en + à droite de chaque asymptote.
(pense au comportement de y = 1/x au voisinage de l'asymptote x = 0)
Donc, par exemple entre a1 et a2, f passe de + à droite de a1 à - à gauche de a2. Il y a donc au moins une racine entre a1 et a2.
Pour montrer que la racine est unique, il suffit de remarquer que, les Ai étant positifs, on a f'(x) < 0 donc f monotone décroissante partout où elle est définie.
Finalement, on a 1 racine entre a1 et a2, une racine entre a2 et a3,..., 1 racine entre an-1 et an, au total n-1 racines.
Enfin, f tend vers 0 aux deux infinis, et on utilise encore la monotonie pour montrer qu'il n'y a pas d'autre racine à gauche de a1 ni à droite de an.
Donc un total de n-1 racines.
Bonsoir Milton,
J'ai aussi utilisé (implicitement) le théorème des valeurs intermédiaires sur chaque branche descendante de ai à ai+1...
Est-ce que tu peux préciser ton histoire de polynôme, je ne vois pas comment le prendre dans ce sens-là, ou plutôt je vois bien la tête du polynôme, mais il m'a l'air affreux à manipuler !
LeHibou, curieux...
Bonsoir ;
Sans perte de généralité on peut supposer
En notant il est facile de vérifier que
le théorème de Rolle affirmant que s'annule au moins une fois sur chaque pour on voit que l'équation admet au moins racines réelles distinctes
et comme est un polynôme de degré on voit que l'équation admet exactement racines réelles distinctes
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