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Niveau Licence Maths 1e ann
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suites

Posté par
tapia
27-11-09 à 21:15

bonjour,

j'ai un excercice à faire mais je n'arrive pas à commencer la première question:


Soient A1,...An* et soient a1,...an distinct. Montrer que l'équation

     A1/x-a1 + A2/x-a2 +...+ An/ x-an = 0
admet n-1 racines réelles distinctes.

merci d'avance

Posté par
LeHibou
re : suites 27-11-09 à 23:31

Bonsoir,

Pose f(x) = A1/(x-a1) + A2/(x-a2) +...+ An/(x-an)
f possède n asymptotes verticales en a1, a2,...an.
Ce qu'il faut voir, c'est que, les Ai étant positifs, f est en - à gauche de chaque asymptote, et en + à droite de chaque asymptote.
(pense au comportement de y = 1/x au voisinage de l'asymptote x = 0)
Donc, par exemple entre a1 et a2, f passe de + à droite de a1 à - à gauche de a2. Il y a donc au moins une racine entre a1 et a2.
Pour montrer que la racine est unique, il suffit de remarquer que, les Ai étant positifs, on a f'(x) < 0 donc f monotone décroissante partout où elle est définie.
Finalement, on a 1 racine entre a1 et a2, une racine entre a2 et a3,..., 1 racine entre an-1 et an, au total n-1 racines.
Enfin, f tend vers 0 aux deux infinis, et on utilise encore la monotonie pour montrer qu'il n'y a pas d'autre racine à gauche de a1 ni à droite de an.
Donc un total de n-1 racines.

Posté par
milton
re : suites 27-11-09 à 23:54

salut
on peut aussi en faire un polynome à resoudre et utiliser le theoreme des valeur intermediare  

Posté par
LeHibou
re : suites 28-11-09 à 00:11

Bonsoir Milton,

J'ai aussi utilisé (implicitement) le théorème des valeurs intermédiaires sur chaque branche descendante de ai à ai+1...

Est-ce que tu peux préciser ton histoire de polynôme, je ne vois pas comment le prendre dans ce sens-là, ou plutôt je vois bien la tête du polynôme, mais il m'a l'air affreux à manipuler !

LeHibou, curieux...

Posté par
tapia
suite 30-11-09 à 20:29

merci beaucoup

Posté par
LeHibou
re : suites 30-11-09 à 21:33

C'était un plaisir !

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : suites 30-11-09 à 22:57

Bonsoir ;

Sans perte de généralité on peut supposer a_1<a_2<...<a_n

En notant 3$\fbox{P(x)=\Bigprod_{i=1}^n(x-a_i)^{A_i}} il est facile de vérifier que 3$\fbox{\frac{P^'(x)}{P(x)}=\frac{A_1}{x-a_1}+...+\frac{A_n}{x-a_n}}

le théorème de Rolle affirmant que P^' s'annule au moins une fois sur chaque ]a_i,a_{i+1}[ pour i=1..n-1 on voit que l'équation \fbox{\frac{A_1}{x-a_1}+...+\frac{A_n}{x-a_n}=0} admet au moins n-1 racines réelles distinctes

et comme 3$\left(\Bigprod_{i=1}^n(x-a_i)\right)(\frac{A_1}{x-a_1}+...+\frac{A_n}{x-a_n})=\Bigsum_{i=1}^nA_i\Bigprod_{j\neq i}(x-a_j) est un polynôme de degré n-1 on voit que l'équation \fbox{\frac{A_1}{x-a_1}+...+\frac{A_n}{x-a_n}=0} admet exactement n-1 racines réelles distinctes

Posté par
LeHibou
re : suites 30-11-09 à 23:05

Oh yeah, celle-la, elle est belle !
Merci !

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : suites 01-12-09 à 23:59

De rien LeHibou



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