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suites

Posté par pepsister (invité) 24-03-05 à 21:17

Soit A la matrice
1   3
-1  -2

I/ Déterminer le polynôme caractéristique de A
II/ On considère que A appartient à Mn(C). Diagonaliser A
III/ Montrer  que A^3=identité en utilisant la forme diagonalisée
IV/ Soit (un) et (vn) deux suites réelles vérifiant pour tout n appartient N
on ait le système
{u(n+1)=un + 3vn
{v(n+1)=-un-2vn
Déterminer un et vn en fonction de n, u0 et v0

J'ai répondu au trois premières questions mais je bloque à la question 4 je ne vois pas du tout comment partir. Faut-il utiliser les questions précédentes? Je ne sais même pas c'est pour cela que j'ai marqué tout l'énoncé.

Posté par titimarion (invité)re : suites 24-03-05 à 21:30

Salut
il suffit peut etre que tu peux remarquer que
\begin{pmatrix}u_{n+1}\\v_{n+1}\end{pmatrix}=A\times\begin{pmatrix}u_n\\v_n\end{pmatrix}=A^{n+1}\times \begin{pmatrix}u_0\\v_0\end{pmatrix}

Posté par titimarion (invité)re : suites 24-03-05 à 21:32

Je voulais bien sur mettre il suffit que tu remarques, cependant après je me suis dit que j'allais noter tu peux remarquer tu as donc eu un mélange des deux, cela ne change en rien ma remarque mais bon c'est quand même mieux quand on parle français.

Posté par pepsister (invité)re : suites 24-03-05 à 22:06

J'ai un autre sur un problème du même style
Soit la matrice A
2   -1
5/2 -1

I/ Diagonaliser A sur C
II/ Soit (un) et (vn) deux suites réelles vérifiant pour tout n appartient à N
{u(n+1)=2un -vn
{v(n+1)=5/2un -vn
Sans calculer et à l'aide de la question précedente, montrer que un et vn tendent vers 0 quand n tend vers l'infini

Merci d'avance

Posté par jayrhum (invité)re : suites 24-03-05 à 23:14

Yo,

Ces deux exos reposent sur les mêmes choses.

Après avoir diagonalisé une matrice A tu es en mesure d'écrire:

A = P.D.P-1
où D = \[\array{\lambda_1&0\\0&\lambda_2}\]
et \lambda_1, \lambda_2 sont les valeurs propres de A. ( complexes dans le cas du second exo.)

Il te suffit ensuite d'utiliser la remarque de titimarion.

Si l'on pose X_n = \[\array{u_n\\v_n}\]

On a la relation: X_n = A^n X_0

Tu as alors besoin pour calculer A^n de savoir que:
A^n = (PDP^{-1})^n = PD^nP^{-1} (très simple à démontrer)

Or D^n = \[\array{\lambda_1&0\\0&\lambda_2}\]^n = \[\array{\lambda_1^n&0\\0&\lambda_2^n}\]^

Avec tout ça tu devrais pouvoir y'arriver.

Dans le cas du second exo, il faut montrer que \lambda_1^n et \lambda_2^n tendent vers 0 lorsque n tend à l'infini. Ce qui revient à vérifier que les deux valeurs propres ont chacune leur module < 1.

Bon Courage.


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