Pour tout entier naturel n, on pose Un=(n^10/2n). On définit ainsi une suite (Un).
1.Prouver pour tout n non nul, l'équivalence suivante: Un+1 inf ou égal à 0.95Un
si et seulement si (1+(1/n))^10inf ou égal à 1.9
là je pense qu'il faut faire un raisonnement par récurrence mais je n'y arrive pas !!

2.Soit f(x)=(1+(1/x))^10 sur I=]1;+[
a.Etudier le sens de variation et la limite en + de f :
je pense que lim en + de f(x)=1 car lim x tend vers +l'inf de 1/x=0
sens de variation (juste sur I je suppose): f'(x)=10.(-1/x^2)^9, c'est juste ?
sur ma calto en tracant le graphe, je vois que f est décroissante pour x appartient à I mais je sais pas trop comment justifier,

b.montrer qu'il existe sur I un réel a tel que f(a)=1.9
je dis que f(15)=1.91 et que f(16)=1.83 donc sachant aussi que f(x)est décroissante sur I , il existe bien un réel unique a tel que f(a)=1.9

c.Déterminez l'entier naturel n0 tel que n0-1 inf ou égal à a qui lui est aussi inf ou égal à n0
d.Montrer que pour tout entier n sup ou égal à 16, on a:
(1+(1/n)^10 inf ou égal à 1.9

3.a.determinez le sens de variation de la suite (Un) à partir du rang 16.
b.que peut-on en déduire pour la suite ?

4.en utilisant un raisonnement par récurence, prouver, pour tout entier n sup ou égal à 16, l'encadrement 0inf ou égal à Un inf ou égalà 0.95^(n-16).U16
En déduire la limite de la suite (Un)