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Posté par mikachef (invité)probleme de math sur les suites TERM S 26-09-03 à 18:35

jaimerais bien avoir votre aide sur cet exo je bloke grave

soit u la suite définie par u0 = 1 et la relation de récurrence  
U (n+1) = 1+ 1/U(n)         (n entier naturel)

1. montrer que 1<Un<2 ( < signifie ici inférieur ou égal c pa juste
inférieur)

2.montrer que la suite U(2n) est décroissante et que U(2n+1) EST CROISSANTE


3. d2DUIRE QUE LES 2 SUITES CONVERGENT RESPECTIVEMENT VERS L0 ET L1


merci davance et vive la terminale S!!

** message déplacé **

Niveau terminale
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suites

Posté par mikachef (invité) 28-09-03 à 20:49

jaimerais bien avoir votre aide sur cet exo je bloke grave

soit u la suite définie par u0 = 1 et la relation de récurrence  
U (n+1) = 1+ 1/U(n)         (n entier naturel)

1. montrer que 1<Un<2 ( < signifie ici inférieur ou égal c pa juste
inférieur)

2.montrer que la suite U(2n) est décroissante et que U(2n+1) EST CROISSANTE
  

3. déDUIRE QUE LES 2 SUITES CONVERGENT RESPECTIVEMENT VERS L0 ET L1



merci davance et vive la terminale S!!

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : suites 29-09-03 à 16:05

Coup de main.

Si U(n) >= 1 est vrai pour n=k, on a: U(k) >= 1, 1/U(k) <= 1
U(k+1) = 1 + 1/U(k)
U(k+1) <= 2

Si U(n) > 0 est vrai pour n=k, on a : 1/U(k) > 0
U(k+1) = 1 + 1/U(k)
U(k+1) > 1

Donc si U(n) >=1 on a   1 < u(n+1) <= 2

Comme U(0) = 1, U(0) >= 1 et donc 1 < U(1) <=2 donc U(1) >= 1
-> Comme U(1) >= 1 on a  donc 1 < U(2) <=2 donc U(2) >= 1
-> Comme U(2) >= 1 on a  donc 1 < U(3) <=2 donc U(3) >= 1  
...
Et ainsi de proche en proche,   1 < U(n) <=2 pour tout n de N
-------------
2)
Lorsque tu auras montré que U(2n) est décroissante et U(2n+1) est croissante
->
-------------
3)
U(2n) décroissante et minorée par 1 -> U(2n) est convergente.
Pour n -> oo, on aura U(2n) = U(2(n+1))
U(2n) = U(2n+2)

En posant 2n = p   (avec n -> oo)
U(p) = U(p+2)
U(p) = U((p+1)+1)
U(p) = 1 + (1/U(p+1))
U(p) = 1 + 1/(1+1/U(p))
U(p) = (1+2.U(p))/(1+U(p))
U(p) + (U(p))² =  1 + 2U(p)
(U(p))² - U(p) - 1 = 0
U(p) = [1 +/- V(1+4)]/2
et comme U(p) > 1 ->
U(p) = (1+V5)/2
Et donc U(2n) converge vers L0 = (1+V5)/2
--
U(2n+1) croissante et majorée par 2 -> U(2n+1) est convergente.
Pour n -> oo, on aura U(2n+1) = U(2(n+1)+1)
Posons (2n+1) = q
U(q) = U(q+1)
U(q) = 1 + 1/U(q)
U(q) = (U(q) + 1)/U(q)
(U(q))² - U(q) - 1 = 0
U(q) = (1 +/- V(1+4))/2
et comme U(q) > 1 ->
U(q) = (1+V5)/2
Et donc U(2n+1) converge vers L1 = (1+V5)/2
----
U(2n) et U(2n+1) convergent toutes deux vers (1+V5)/2
-----------
Sauf distraction.

Posté par mikachef (invité)re : suites 29-09-03 à 20:10

merci j-p tes une somité je tadore tu mas sauvé !!



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