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suites
On considère la suite Un définie par U0=1 et, pour tout entier naturel
n, Un+1=(1/4Un)+3
1) on considère la fonction f définie sur (0;+oo) par f(x)=(1/4x)+3
a) tracer dans un même repère orthonormal d'unité 2cm la représentation
graphique D de la fonction f et la droite G d'équation y=x
b) calculer les coordonnées du point d'intersection de ces deux
droites
c) en faisant apparaître le mode de construction, utiliser ce graphique
pour représenter U1, U2 et U3 sur l'axe des abscisses.
d) quels semblent être le sens de variation et la limite de la suite
Un
2) soit la suite Vn définie pour tout entier naturel n par Vn=Un+1-Un
a) montrer que pour tout entier naturel n, Vn+1=1/4Vn
b) quelle est la nature de la suite Vn. Pré ciser son premier terme
Vo
c) exprimer Vn en fonction de n
d) exprimer Un en fonction de termes de la suite Vn et en déduire
que pour tout entier naturel n, Un=-3*((1/4)puissance n)+4
e) déterminer le sens de variation de la suite Un
f) déterminer la limite de la suite Un
1)
a) Je te laisse faire le graphique 
b) Coordonnées du point d'intersection de ces deux droites :
on résout :
f(x) = x
1/4 x + 3 = x
(1/4 - 1) x = -3
x = 4
Le point d'intersection de ces deux droites a pour coordonnées
(4; 4).
c) je te le laisse faire
d) à donner à l'aide du graphique
2) a) vn+1 = un+2 - un+1
= 1/4 un+1 +3 - 1/4 un - 3
= 1/4 ( un+1 - un)
= 1/4 vn
b) On en déduit donc que la suite (vn) est géométrique de
raison 1/4 et de premier terme
v0 = 9/4
c) D'où :
vn = v0 qn
= 9/4 
(1/4)n
= 9/(4n+1)
d) Par définition :
vn = un+1 - un
= 1/4 un + 3 - un
= -3/4 un + 3
D'où :
un = -4/3 vn + 4
= -4/3 9/(4n+1) + 4
= - 3 / (4)n + 4
e) un+1 - un
= -3/ 4n+1 + 3/ 4n
= 9/ 4n+1
Donc :
un+1 - un 
0
(un) est croissante.
f) Comme 4 >1, alors :
lim 4n = + 
donc :
lim -3/4n = 0
Par conséquent :
lim un = 4
(les limites sont étudiées lorsque n tend vers +)
Voilà, bon courage ...
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