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suites

Posté par nina (invité) 24-12-03 à 11:17

la suite (Un) est définie par U0=-3 et pûr tout n :
U(n+1)=Un-8/2Un-9.

1-a .REprésentez graphiquement la fonction f définie pour tout réel x
différent de 9/2 par :

f(x)=x-8/2x-9 .

b. Utisez la représentation graphique pour conjecturer le comportement
de la suite (Un) .

2-Démontrer par récurrence que pour tout n, Uninférieur à 1.
3- Démontrer que la suite (Un) est croissante et qu'elle converge
.
4-la suite (Vn) est définie pour tout n par :
Vn= 1-Un .
Démonter que, pour tout n /
V(n+1)   1/7 Vn
et déduisez -en laa limite de la suite (Vn) .
5- quelle est la limite de la suite (Un) ? .
6- Trouver un entier N tel que n   0.99 .


salut à toi voila je te présente mon probléme des vacs .
pour la premier question g tracer la représentation graphique puis g fait
la méthode de l'escalier avec  y=x ou je trace les points :
(Uo; U1) , etc par U(n+1)= f(Un).
je trouve que Un est croissante sur   .Et une limite en
+ qui vaut 1.
pour la 2.g réussi uniquement pour n=0 .
3. g calculer la dérivée et f , Un est donc bien croissante .Pour montrer
qu'ellle converge g calculer la limite de f en +
g trouver 1/2 , là je ne suis pas trés sure .

A partir de la 4 je n'y arrive plus du tout ....
Merci de m'aider a + .

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : suites 24-12-03 à 12:17

2)
Supposons que pour une certaine valeur k de n, U(n) < 1.
On a alors: U(k) < 1
U(k+1) = (U(k)-8)/(2U(k)-9)
U(k+1) = (2U(k)-9-U(k)+1)/(2U(k)-9)
U(k+1) =  1 - [(U(k)-1)/(2U(k)-9)]
avec U(k) < 1, on a [(U(k)-1)/(2U(k)-9)] > 0
Et donc: U(k+1) < 1.

On a donc montré que si U(n) < 1 pour n = k, on a aussi  U(n) < 1 pour
n = k+1.  (1)

Comme U(0)=-3 et donc U(0) < 1, par (1), on a aussi U(1) < 1.
Comme U(1) < 1, par (1) on a aussi U(2) < 1
Comme U(2) < 1, par (1) on a aussi U(3) < 1
Et ainsi de proche en proche, U(n) < 1 pour tout n de N.
-----
3)
U(n+1) - U(n) = [(U(n)-8)/(2U(n)-9)] - U(n)
U(n+1) - U(n) = [U(n)-8-2(U(n))²+9U(n)]/(2U(n)-9)
U(n+1) - U(n) = [-2(U(n))²+10.U(n)-8)]/(2U(n)-9)
U(n+1) - U(n) = -2[(U(n))²-5.U(n)+4)]/(2U(n)-9)
U(n+1) - U(n) = -2[(U(n)-1)(U(n)-4)]/(2U(n)-9)
Et comme U(n) < 1,  U(n+1) - U(n) > 0
U(n+1) > U(n)
Et donc Un est croissante.

Par les parties (2) et (3) de l'exercice, la suite Un est croissante
et majorée, elle est donc convergente.
-----
4)
V(n) = 1 - U(n)
V(n+1) = 1 - U(n+1)
V(n+1) = 1 - (U(n)-8)/(2U(n)-9)
V(n+1) = (2U(n)-9-U(n)+8)/(2U(n)-9)
V(n+1) = (U(n)-1)/(2U(n)-9)
V(n+1) = V(n)/(9 - 2U(n))

Et comme U(n) < 1, on a 9 - U(n) > 7 ->
V(n+1) < V(n) /7

Comme U(n) < 1 pour tout n, V(n) > 0 pour tout n.

0 < V(n+1) < (1/7).V(n)

Lim(n->oo) V(n) = 0
-----
5)
V(n) = 1 - U(n)
lim(n->oo) V(n) = 1 - lim(n->oo) U(n)
0 = 1 - lim(n->oo) U(n)
lim(n->oo) U(n) = 1
-----
6)
Question équivoque.

Je suppose qu'on cherche un enier n de N tel que U(n) >= 0,99

On calcule:
U(0) = -3
U(1) = 0,733333333
U(2) = 0,96460177
U(3) = 0,994993742

Et comme Un est croissante, on a U(n) >= 0,99 pour tout n >= 3.
-----
Sauf distraction.



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