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suites

Posté par owl (invité) 05-02-04 à 18:34

j'aurai besoin d'une petite aide sur un exercice qui concerne les suites!
l'intitulé du sujet est:
une société de crédit propose à ses clients de mettre à leur disposition une somme s de 6000 € remboursable par des prélèvements mensuels fixes de 300 €.  Le taux d'intéret mensuel est de 1,5%. (On se propose de déterminer le nombre de mois nécessaires au remboursement de cette somme et le montant payé par chaque client. Si le montant dû le dernier mois est inférieur à 300 €, le client paye le forfait de 300 €.)

Uo = 6000 et Un = montant restant à rembourser apres n prélevements mensuels

U1 = 6000x1,015-300
= 5790
U2 = 5790x1,015-300
= 5576.85

je dois montrer de manière générale que Un+1 = (1,015)Un -300
et je n'arrive pas!!!!!
et ensuite on considère la suite (Vn) définie par Vn = Un -20000
comment montrer que (Vn) est une suite géométrique? (quel est le 1er terme et la raison)?
combien de mois sont-ils nécéssaires à l'extinction de la dette?

merci bcp bcp à celui qui a la gentillesse de bien vouloir m'aider!

Posté par
watik
re : suites 05-02-04 à 20:32

bonsoir
permettez moi de vous aider.

pour montrer : Un+1 = (1,015)Un -300

vous avez bien écrit pour les échéances 1 et 2:

U1 = 6000x1,015-300  = 5790
U2 = 5790x1,015-300 = 5576.85

cela veut dire que si on est à la fin de l'échéance (n) le capital
restant est Un qu'il faut actualisé avec le taux d'intéret
1,15%.

cette actualisation s'écrit Un+0,015Un=1,015Un
on suite il faut payer l'échéance de 300€ pour la période (n).

donc le capital restant Un+1 est:

U(n+1)=1,015Un -300

voila.

Ensuite si Vn=Un-20000

alors Un=Vn+20000
et      U(n+1)=V(n+1)+20000

comme U(n+1)=1,015Un -300

donc

V(n+1)+20000=1,015(Vn+20000)-300

V(n+1)+20000=1,015Vn+20300-300

V(n+1)+20000=1,015Vn+20000

V(n+1)=1,015Vn

donc Vn est une suite géométrique de raison 1,015. et de premier terme
Vo=Uo-20000=6000-20000=-14000€.

Vn étant une suite géométrique donc Vn=Vo.(1,015)^n

donc Un=(Vo.(1,015)^n)+20000.

la dette sera extincte ssi Un=0

ssi (Vo.(1,015)^n)+20000=0

ssi (1,015)^n=-20000/Vo=-20000/-14000=20/14=10/7

en prenant le logarithme de chaque membre:

n.ln(1,015)=ln(10/7)

n=ln(10/7)/ln(1,015)

n= 23,95 soit approximativement n=24 ans.

voila

Posté par owl (invité)re : suites 05-02-04 à 22:13

je te remercie bcp watik!! t'es trop cool!
merci merci



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