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suites
Les suites (Un) et (Vn) sont définis par :
n
Un= S 1/p²
p=1
S désigne la lettre grecque sigma qui correspond à la somme des termes.
et Vn=Un+1/n
Montrer que ces suites ont les mêmes limites.
Merci d'avance, ce serait sympa de me l'envoyer par e-mail mais
si c'est impossible ce n'est pas grave.
bonjour permettez moi de vous répondre.
soit l=limUn la limite de Un si elle exite.
(on fait on sait qu'elle existe et qu'elle vaut Pi²/6)
on a :
Vn-l=Un-l+1/n
donc |Vn-l|=|Un-l+1/n|
<=|Un-l|+|1/n| ; inégalité triangulaire.
<=|Un-l|+1/n
|Vn-l|<=|Un-l|+1/n
comme lim(1/n)=0
soit e>0 (e à la place de l'habituel épsilon)
il existe NoEN tel que ( n>=No implique 1/n<e/2)
comme lim Un=l
il exite No'EN tel que (n>No' impliqye |Un-l|<e/2)
prenons No"=sup(No,No')
donc
n>No" implique n>No implique 1/n<e/2
et
n>No" implique n>No' implique |Un-l|<e/2/n<e/2
comme |Vn-l|<=|Un-l|+1/n
donc:
n>No" implique |Vn-l|<=|Un-l|+1/n<=e/2+e/2=e
en résumé nous avons montré que:
(qq soit e>0)(il existe No"EN)(n>No" implique |Vn-l|<e)
cela exprime par définition que limUn=l
donc Un et Vn ont la même limite l.
voila bon courage
oups j'ai interverti Un et Vn dans la conclusion.
la bonne réponse est comme suit:
soit l=limUn la limite de Un si elle exite.
(on fait on sait qu'elle existe et qu'elle vaut Pi²/6)
on a :
Vn-l=Un-l+1/n
donc |Vn-l|=|Un-l+1/n|
<=|Un-l|+|1/n| ; inégalité triangulaire.
<=|Un-l|+1/n
|Vn-l|<=|Un-l|+1/n
comme lim(1/n)=0
soit e>0 (e à la place de l'habituel épsilon)
il existe NoEN tel que ( n>=No implique 1/n<e/2)
comme lim Un=l
il exite No'EN tel que (n>No' impliqye |Un-l|<e/2)
prenons No"=sup(No,No')
donc
n>No" implique n>No implique 1/n<e/2
et
n>No" implique n>No' implique |Un-l|<e/2/n<e/2
comme |Vn-l|<=|Un-l|+1/n
donc:
n>No" implique |Vn-l|<=|Un-l|+1/n<=e/2+e/2=e
en résumé nous avons montré que:
(qq soit e>0)(il existe No"EN)(n>No" implique |Vn-l|<e)
cela exprime par définition que limVn=l
donc Un et Vn ont la même limite l.
voila bon courage
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