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Niveau première
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Suites

Posté par
Phymathi
24-04-17 à 23:39

Bonsoir à tous,
Je dois montrer que ma suite :
S_n = 1+ \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + ... +\frac{1}{n!}
1)est bornée par 2 et 3
2) convergente vers une limite qu'on précisera.
3) Etudier la convergence des suites :
U_n=1+ \frac{1}{\sqrt2} + \frac{1}{\sqrt3} + \frac{1}{\sqrt4} + ... +\frac{1}{\sqrt n}
 \\ V_n= \frac{n^n}{n!}
Ayant un blocage avec les suites où il y a des sommes , je sais pas exactement quoi utiliser pour les deux sommes,
j'ai pensé pour la 1) à utiliser le principe de raisonnement par récurrence mais après je bloque , l'itération ne marche pas non plus , que faire ?
Avez vous des méthodes à me conseiller quand je me retrouve face à cette situation où je me retrouve devant des belles sommes à encadrer ?
Pour la 2) blocage total aussi ( sachant que je ne peut ni utiliser l'expo ni la fonction ln)
Pour la 3) je bloque aussi..
Bref, vous l'avez compris, je n'arrive pas à avancer..
En l'attente d'une aide s'il vous plait.
Bonne soirée.

Posté par
TheMathHatter
re : Suites 25-04-17 à 06:47

Salut,

Premierement je pense que ton enonce est incorrect et qu'il te manque un terme au debut.  Selon moi ca devrait etre :

Sn = 1 +1/1! + 1/2! etc... (le premier terme etant donc 1/0! puisque 0!=1)

Alors la minoration par 2 est evidente puisque la somme des 3 premiers termes et 2,5.

Pour la majoration par 3 c'est plus technique. Tu majores chaque terme (a partir du 3e) ainsi :

1/2! <= 1/2
1/3! < 1/4
1/4! < 1/8 etc

Sn est alors inferieure a la somme 1 + (1 + 1/2 + 1/4 +1/8+1/16 ...)

Et comme tu peux facilement le prouver (somme infinie des termes d'une suite geometrique de raison 1/2) ca fait 3.

Pour la question 2, montre qu'elle est croissante et puis utilise le thm de convergence monotone.

La limite est bien sur e mais je ne pense pas qu'on te demande de le demontrer.

Pour la question 3, essaie de faire la meme chose en trouvant un majorant de Un.

Pour Vn, montre qu'elle est croissante en calculant Vn+1/Vn.

C'est un joli niveau de premiere ca !

Posté par
Phymathi
re : Suites 25-04-17 à 08:45

Bonjour,
Oui effectivement je m'excuse j'ai oublié le premier terme étant bel et bien 1.
Ca me paraît clair maintenant.  (Quoi que pour Un je dois majorer chaque terme aussi? )
Merci pour la réponse.  
Cela dit "joli niveau de premiere" m'a fait sourire un peu.. Que pensez vous de l'énoncé honnêtement?
Bonne journée

Posté par
lake
re : Suites 25-04-17 à 09:51

Bonjour,

Citation :
Pour la question 3, essaie de faire la meme chose en trouvant un majorant de Un.


Pour (u_n), peu de chances d' y parvenir...

Posté par
lake
re : Suites 25-04-17 à 10:13

Pour (v_n) aussi d' ailleurs.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Suites 25-04-17 à 10:44

Pour U_n=1+ \frac{1}{\sqrt2} + \frac{1}{\sqrt3} + \frac{1}{\sqrt4} + ... +\frac{1}{\sqrt n} trouve le terme de la somme le plus petit (facile c'est le dernier) et dit que cette somme de n termes est forcement plus grande que n fois le plus petit des termes et tu pourras alors facilement conclure sur la divergence de cette somme.

Posté par
lavariabl
re : Suites 25-04-17 à 13:51

Un=\sum_{k=1}^{n}{}}\f\frac{1}{Vk}}{}
Un+1=\sum_{k=1}^{n+1}{}}\f\frac{1}{Vk}}{}
Un+1=\sum_{k=1}^{n}{}}\f\frac{1}{Vk}}{}+ \frac{1}{Vn+1}

Posté par
lavariabl
re : Suites 25-04-17 à 13:55

Un+1-Un= \frac{1 }{Vn+1} >0

Posté par
lavariabl
re : Suites 25-04-17 à 13:55

Question 3 tu peux procéder ainsi pour la monotonie

Posté par
lavariabl
re : Suites 25-04-17 à 13:58

Essayé ensuite de voir sil elle est majorée

Posté par
lavariabl
re : Suites 25-04-17 à 14:02

Mais cette suite tends vers l'infinie mieux on peut simplement monter quelle nest pas de Cauchy

Posté par
lavariabl
re : Suites 25-04-17 à 14:26

Décidément jy arrive pas avec latex miex essai de voir comment jai manipuler les sommes précédemment tu prend 2 suites U2n et Un tu montre que Un n'est pas de Cauchy pour n€N* tu aura enfet
|U2n-Un|1/V2n>1/V3

Posté par
TheMathHatter
re : Suites 25-04-17 à 14:30

Citation :
Pour (u_n), peu de chances d' y parvenir...


Oui en effet, je n'ai reflechi qu'a la monotonie car je pensais que tout l'exercice portait sur le thm de convergence monotone. Cela m'apprendra a surfer si tard

Et phymathi ce que je pense de l'enonce est tres simple, c'est du programme de Terminale S (et ca a peu de chances de tomber au bac, surtout sans aide.)

Cela dit etudier la monotonie de Vn est un bon exercice de calcul.



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