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Suites
Bonjour à vous ! Je me retrouve face à un exercice qui me pose problème ! En voici l'énoncé :
Un groupe de biologistes a relevé pendant 4 ans la population de pies chaque premier janvier, on sait que la population baisse de 10% chaque année, en 2000 la population est de 300 en 2010 elle sera de 105.
Pour tenter de modifier la baisse, les biologistes introduisent une nombre a d'oiseaux chaque années suivant l'année 2010, on estime que le risque d'extinction est évité si la population se stabilise autour de 200. On sait que pour a=20, la population se stabilise à 200, et l'extinction est évitée.
On appelle qn la population en 2010 + n
1) Exprimer qn+1 en fonction de qn
qn+1=0.9qn+20
2) On pose Un=qn-200, montrer que la suite Un est géométrique
On pose Un+1/Un= 0.9(Qn-200)/(Qn-200)=0.9
3)Expimer alors, pour tout entier naturel n, un en fonction de n
un=u0qn
4)Déduire de ce qui précede que pour tout entier naturel n: qn=200-95*(0.9)n
Un=Qn-200 donc U0=Q0-200=105-200)-95
Donc Qn=Un+200
Qn= U0*q^n+200
Qn= 200-95*0.9^n
5)Démontrez que la suite qn est croissante
j'ai essayé plusieur métodes, Qn+1/Qn et Qn+1-Qn mais le résultat est toujour de 0.9, il est inférieur a 1 or pour qu'un suite soit croissante, Qn+1/Qn et Qn+1 doivent etre supérieur a 1!
Qn+1/Qn=(200-(95*(0.9^(n+1))))/(200-(95*(0.9^n)))=0.9
Qn+1-Qn=(200-(95*(0.9^(n+1))))-(200-(95*(0.9^n)))=0.9
bonsoir 
,
Qn+1 - Qn
=(200-(95*(0.9^n+1)))-(200-(95*(0.9^n)))
=(-95*(0.9^n+1))-(-95*(0.9^n))
=(0.9^n+1)-(0.9^n)
=(0.9^n*0.9^1)-0.9^n
=0.9^1
=0.9
tu as une manière de factoriser et de simplifier surprenante !
(200 - 95 * 0,9 n+1 ) - (200 - 95 * 0,9 n )
= - 95 * 0,9 n+1 + 95 * 0,9 n
= 95 * 0,9 n ( - 0,9 + 1 )
= 95 * 0,9 n * ( 0,1 ) ==> qui est positif.
donc Qn+1 > Qn : la suite est croissante.
je détaille :
= - 95 * 0,9 n+1 + 95 * 0,9 n
tu sais que a n+1 = an * a
donc 0,9 n+1 = 0,9 n * 0,9
= - 95 * 0,9 n * 0,9 + 95 * 0,9 n
je mets 95 * 0,9 n en facteur :
= 95 * 0,9 n ( - 0,9 + 1 )
OK ?
Oui merci
6)Démontrer que pour tout entier naturel n, Qn ≤ 200.
Qn ≤200
donc Qn-200≤0
donc 200-95*0.9^n-200≤0
donc -95*0.9^n≤0
On a donc bien Qn≤200
7) On se propose de déterminer le premier entier naturel n0 pour lequel, pour tout entier naturel n≥n0, Qn ∈ ]199;201[.
La je bloque vraiment j'ai déjà essayer quelques pistes sans succès, j'aimerais que l'on m'éclaire si possible, merci .
J'ai essayé un programme:
n=0
q=200-95*0.9**n
while q<=199:
n=n+1
q=200-95*0.9**n
print (n0)
J'aimerai que l'on me corrige si besoin, et es-t-il possible de répondre a la question sans programme? si oui quel piste es-ce-que je pourrai tester?
bonjour carita, merci d'avoir répondu en mon absence.
pdop1, un programme, c'est une bonne idée, qu'as tu obtenu comme résultat ?
comme te l'as conseillé carita, tu peux poser
qn > 199
Bonjour!
voici le résultat de mon algorithme:
n0=44 pour q=199.0787
J'ai également essayer qn>199 :
On pose Qn < 200 ,on a donc;
Qn < 200
Qn - 200 < 0
200 - 95 * 0.9^n - 200 < 0
-95 * 0.9^n < 0
On a donc bien Qn < 200
j'aimerai que l'on me corrige si besoin , merci d'avance !
ton algorithme t'a donné une bonne réponse.
ton équation.... ce n'est pas tout a fait ça.
On sait que qn < 200 : ta conclusion n'est pas ec qu'on demande, on cherche n..
qn > 199
200 - 95 * 0,9 n > 199
1 - 95 * 0,9 n > 0
- 95 * 0,9 n > - 1
95 * 0,9 n < 1 (on multiplie par -1, l'inégalité change de sens)
0,9 n < 1/95
ln (0,9n) < ln (1/95)
n ln (0,9) < ln (1/95)
n > ln (1/95) / ln(0,9) (on divise par ln(0,9) qui est <0 , l'inégalité change )
n > 43, 37
n=44
sauf distraction.
Je suis un petit peu confus,comment a-t-on démontrer que pour tout entier naturel n, Qn ≤ 200 ? (question 6)
en effet, ta question est curieuse, c'est toi qui l'a démontré.. le 13-09 à 14:12...
qn=200-95*(0.9)n
montrer que qn 
200, c'est montrer que qn - 200 0
qn - 200
= 200-95*(0.9)n - 200
= -95*(0.9)n qui est toujours 0
donc qn - 200 0
et qn 200
Je n'étais pas sur de la véracité de mon équation, merci de m'avoir confirmé qu'elle est effectivement bonne
tu as remarqué que l'écriture est différente.
Toi tu poses d'abord qn 200 mais au départ, tu ne le sais pas.
Moi, j'exprime qn - 200 et je montre que c'est négatif.
OK ?
c) Caroline dit alors à Pierre : "pourquoi es-tu certain que pour les valeurs de n plus grande que no la propriété sera encore vérifiée ?"
Quelle justification Pierre peut-il lui donner?
Peut on uniquement justifier cela par le fait que l'on puisse conjecturer que la suite Qn émettent une limite en 200?
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