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Suites

Posté par
pdop1
12-09-17 à 21:55

Bonjour à vous ! Je me retrouve face à un exercice qui me pose problème  ! En voici l'énoncé :
Un groupe de biologistes a relevé pendant 4 ans la population de pies chaque premier janvier, on sait que la population baisse de 10% chaque année, en 2000 la population est de 300 en 2010 elle sera de 105.
Pour tenter de modifier la baisse, les biologistes introduisent une nombre a d'oiseaux chaque années suivant l'année 2010, on estime que le risque d'extinction est évité si la population se stabilise autour de 200. On sait que pour a=20, la population se stabilise à 200, et l'extinction est évitée.
On appelle qn la population en 2010 + n
1) Exprimer qn+1 en fonction de qn
qn+1=0.9qn+20
2) On pose Un=qn-200, montrer que la suite Un est géométrique
On pose Un+1/Un= 0.9(Qn-200)/(Qn-200)=0.9
3)Expimer alors, pour tout entier naturel n, un en fonction de n
un=u0qn
4)Déduire de ce qui précede que pour tout entier naturel n: qn=200-95*(0.9)n
Un=Qn-200 donc U0=Q0-200=105-200)-95
Donc Qn=Un+200
Qn= U0*q^n+200
Qn= 200-95*0.9^n
5)Démontrez que la suite qn est croissante
j'ai essayé plusieur métodes, Qn+1/Qn et Qn+1-Qn mais le résultat est toujour de 0.9, il est inférieur a 1 or pour qu'un suite soit croissante,  Qn+1/Qn et Qn+1 doivent etre supérieur a 1!
Qn+1/Qn=(200-(95*(0.9^(n+1))))/(200-(95*(0.9^n)))=0.9
Qn+1-Qn=(200-(95*(0.9^(n+1))))-(200-(95*(0.9^n)))=0.9

Posté par
Leile
re : Suites 12-09-17 à 22:02

bonsoir,

montre comment tu développes   Qn+1 -  Qn
..

Posté par
pdop1
re : Suites 12-09-17 à 22:13

bonsoir ,

Qn+1 -  Qn
=(200-(95*(0.9^n+1)))-(200-(95*(0.9^n)))
=(-95*(0.9^n+1))-(-95*(0.9^n))
=(0.9^n+1)-(0.9^n)
=(0.9^n*0.9^1)-0.9^n
=0.9^1
=0.9

Posté par
Leile
re : Suites 12-09-17 à 22:37

tu as une manière de factoriser et de simplifier surprenante !

(200  -  95 * 0,9 n+1 ) -  (200  -  95 * 0,9 n )

=   -  95 * 0,9 n+1   +  95 * 0,9 n

=  95 *  0,9 n   (  - 0,9     + 1 )

= 95 *  0,9 n   * ( 0,1 )    ==> qui est positif.

donc   Qn+1   >   Qn    : la suite est croissante.  

  

Posté par
pdop1
re : Suites 12-09-17 à 22:48

Je n'ai pas compris le passage de la ligne 2 à 3

Posté par
Leile
re : Suites 13-09-17 à 11:15

je détaille :

=   -  95 * 0,9 n+1   +  95 * 0,9 n

tu sais que   a n+1  =  an * a
donc   0,9 n+1   =   0,9 n * 0,9

=   -  95 * 0,9 n * 0,9    +  95 * 0,9 n

je mets 95 * 0,9 n   en facteur :

= 95 *  0,9 n   (  - 0,9     + 1 )

OK ?

Posté par
pdop1
re : Suites 13-09-17 à 14:12

Oui merci
6)Démontrer que pour tout entier naturel n, Qn ≤ 200.
Qn ≤200
donc Qn-200≤0
donc 200-95*0.9^n-200≤0
donc -95*0.9^n≤0
On a donc bien Qn≤200

7) On se propose de déterminer le premier entier naturel n0 pour lequel, pour tout entier naturel n≥n0, Qn ∈ ]199;201[.
La je bloque vraiment j'ai déjà essayer quelques pistes sans succès, j'aimerais que l'on m'éclaire si possible, merci .

Posté par
pdop1
re : Suites 13-09-17 à 15:48

Help please

Posté par
Leile
re : Suites 13-09-17 à 20:20

quelles pistes as tu essayées ?

Posté par
pdop1
re : Suites 14-09-17 à 07:01

J'ai essayé un programme:

n=0
q=200-95*0.9**n
while q<=199:
    n=n+1
    q=200-95*0.9**n
    
print (n0)

J'aimerai que l'on me corrige si besoin, et es-t-il possible de répondre a la question sans programme? si oui quel piste es-ce-que je pourrai tester?

Posté par
carita
re : Suites 14-09-17 à 07:18

bonjour
juste en attendant le retour de Leilé

7) autre méthode : résoudre qn > 199

Posté par
Leile
re : Suites 14-09-17 à 11:30

bonjour carita, merci d'avoir répondu en mon absence.

pdop1, un programme, c'est une bonne idée, qu'as tu obtenu comme résultat ?

comme te l'as conseillé carita, tu peux poser
qn   > 199

Posté par
pdop1
re : Suites 14-09-17 à 18:05

Bonjour!
voici le résultat de mon algorithme:
n0=44 pour q=199.0787

J'ai également essayer qn>199 :
On pose Qn < 200 ,on a donc;
Qn < 200
Qn - 200 < 0
200 - 95 * 0.9^n - 200 < 0
-95 * 0.9^n < 0
On a donc bien Qn < 200
j'aimerai que l'on me corrige si besoin , merci d'avance !

Posté par
Leile
re : Suites 14-09-17 à 18:32

ton algorithme t'a donné une bonne réponse.

ton équation....   ce n'est pas tout a fait ça.

On sait que qn < 200  : ta conclusion n'est pas ec qu'on demande, on cherche n..

qn > 199
200  -  95 * 0,9 n    > 199
1  -  95 * 0,9 n   > 0
-  95 * 0,9 n    > - 1
  95 * 0,9 n   <  1    (on multiplie par -1, l'inégalité change de sens)
    0,9  n   <    1/95
ln (0,9n)  <   ln (1/95)
n   ln (0,9)  <   ln (1/95)
  n  >     ln (1/95)  /  ln(0,9)    (on divise par ln(0,9) qui est <0 , l'inégalité change )
n  > 43, 37
n=44
sauf distraction.

Posté par
pdop1
re : Suites 16-09-17 à 11:09

Je suis un petit peu confus,comment a-t-on démontrer que pour tout entier naturel n, Qn ≤ 200 ? (question 6)

Posté par
Leile
re : Suites 16-09-17 à 12:13

en effet, ta question est curieuse, c'est toi qui l'a démontré..   le 13-09  à  14:12...

qn=200-95*(0.9)n
montrer que qn    200, c'est montrer que qn - 200 0

qn - 200
=  200-95*(0.9)n - 200  
=  -95*(0.9)n    qui est toujours 0

donc qn - 200   0
et  qn 200

Posté par
pdop1
re : Suites 16-09-17 à 12:50

Je n'étais pas sur de la véracité de mon équation, merci de m'avoir confirmé qu'elle est effectivement bonne

Posté par
Leile
re : Suites 16-09-17 à 12:55

tu as remarqué que l'écriture est  différente.
Toi tu poses d'abord     qn 200        mais au départ, tu ne le sais pas.

Moi, j'exprime qn - 200   et je montre que c'est négatif.
OK ?

Posté par
pdop1
re : Suites 16-09-17 à 13:08

c) Caroline dit alors à Pierre : "pourquoi es-tu certain que pour les valeurs de n plus grande que no la propriété sera encore vérifiée ?"
Quelle justification Pierre peut-il lui donner?
Peut on uniquement justifier cela par le fait que l'on puisse conjecturer que la suite Qn émettent une limite en 200?

Posté par
pdop1
re : Suites 16-09-17 à 13:08

Oui j'ai remarquer, je ne doit pas mettre directement l'affirmation dans mon raisonnement

Posté par
Leile
re : Suites 16-09-17 à 13:58

c'est ça.

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