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Suites

Posté par
Massis 09-12-17 à 13:06

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour cet exercice:

Soit la suite Un définie par Un=1+1/2+...+1/n
Le but est d'étudier l'éventuelle divergence de cette suite.

1)montrer que la suite est croissante.        

2) soit a un nombre entier composé de 1 chiffre. Demontrer que 1/a -> 1/10 puis déduire que U9 -> 9/10.

3) soit a un des 90 nombres entiers à 2 chiffres. Demontrer que 1/a -> 1/100 et en déduire la minoration  U99-u9 -> 9/10 puis que U99 -> 2 * 9/10

4) soit k un entier plus grand ou egal à 1.
Il y a 9*10k-1 nombres à k chiffres. Soit a un de ces nombres. Expliquer pourquoi 1/a-> 1/10k et en déduire que U10k-1  -> k * 9/10.

5)en deduire que Un diverge vers l'infini.

Voici mes reponses:

1) j'ai fait Un+1-Un pas de soucis  

2)Vu que la fonction inverse est decroissante sur ]0;+infini[ alors 1/a -> 1/10.
Et U9 = 1 +1/2 + ... + 1/9. C'est donc la somme de 9 nombres tous supérieurs à 1/10 alors U9-> 9/10.

3) même raisonnement que la question 2 sauf pour demontrer que U99 -> 2 * 9/10
Je suis bloqué ici
Merci

Posté par
Massisre : Suites 09-12-17 à 14:54

.

Posté par
lakere : Suites 09-12-17 à 15:04

Bonjour,

  u_{99} est la somme de u_9\geq \dfrac{9}{10} et de 90 termes supérieurs à \dfrac{1}{100}

Posté par
Massisre : Suites 09-12-17 à 15:19

Donc U99=U9+1/10 + 1/11 + ... + 1/99
U99/10 et 1/10 + 1/11 + ... + 1/99 90/100 donc 9/10
Donc on en deduit que u99 2* 9/10?

Posté par
Massisre : Suites 09-12-17 à 15:20

*U99 2 * 9/10

Posté par
lakere : Suites 09-12-17 à 15:23

Mais oui! Tu en doutes ?

Posté par
Massisre : Suites 09-12-17 à 15:29

Non non

La question 4, j'ai reussi a prouver que 1/a1/10k
Maintenant pour la deuxieme partie de la question il faut faire le même raisonnement que la question 3?

Posté par
lakere : Suites 09-12-17 à 15:32

Je vais t'écrire u_{10^k-1} d'une certaine façon mais ça va me demander un peu de temps...

Posté par
lakere : Suites 09-12-17 à 15:39

u_{10^k-1}=\underbrace{\left(1+\dfrac{1}{2}+\cdots +\dfrac{1}{9}\right)}_{9\text{ termes }\geq \frac{1}{10}}+\underbrace{\left(\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{11}+\cdots +\dfrac{1}{99}\right)}_{9\times 10\text{ termes }\geq \frac{1}{10^2}}+\cdots\cdots +\underbrace{\left(\dfrac{1}{10^{k-1}}+\dfrac{1}{10^{k-1}+1}+\cdots +\dfrac{1}{10^k-1}\right)}_{9\times 10^{k-1}\text{ termes }\geq \frac{1}{10^k}}

Chaque parenthèse est supérieure à \dfrac{9}{10} et il y en a k

Posté par
Massisre : Suites 09-12-17 à 16:04

D'accord mais je ne vois pas comment montrer que la suite diverge vers l'infini

Posté par
lakere : Suites 09-12-17 à 16:08

Voyons:

On sait donc que:  u_{10^k-1}\geq \dfrac{9k}{10}

Que vaut \lim\limits_{k\to +\infty}\dfrac{9k}{10} ?

et donc \lim\limits_{k\to +\infty}u_{10^k-1} ? (avec les théorèmes de comparaison)

Posté par
Massisre : Suites 09-12-17 à 16:15

limite de 9k/10 = +infini

Limite de u10k-1 =+ infini

Posté par
lakere : Suites 09-12-17 à 16:18

Oui et \lim\limits_{n\to +\infty}u_n=\lim\limits_{k\to+\infty}u_{10^k-1}=+\infty puisque \lim\limits_{k\to +\infty}10^k-1=+\infty

Posté par
Massisre : Suites 09-12-17 à 16:56

D'accord, merci en tous cas

Posté par
lakere : Suites 09-12-17 à 17:19

De rien Massis

Posté par
Massisre : Suites 10-12-17 à 13:58

Juste un truc que j'ai pas compris:
Limite de U10k-1 =+ ça implique de limite de Un = + ?

Posté par
lakere : Suites 10-12-17 à 15:32

Tu as raison; je me rends compte que 16h18 est un peu olé olé...

On peut tenir le raisonnement suivant:

Soit M un réel quelconque.

Soit k un entier naturel; si k>\dfrac{10M}{9}, on aura u_{10^k-1}\geq \dfrac{9k}{10}>M

Autrement dit pour tout réel M, on a trouvé un entier naturel n=10^k-1 tel que u_n>M

Autrement dit encore, on a prouvé que la suite (u_n) n'est pas majorée.

Or toute suite croissante non majorée tend vers +\infty

Je pense que ce raisonnement est correct. Je ne suis pas sûr que ce soit ce qui est attendu.

Si quelqu'un passe par ici, il peut donner un avis éclairé...

Posté par
Massisre : Suites 10-12-17 à 18:39

On n'a pas encore vu le terme "majoree" donc je ne pense pas que ce soit ce raisonnement qui soit attendu

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suites 10-12-17 à 21:07

Bonjour,
@Massis,
Pour que l'on puisse t'aider, il faudrait que l'on connaisse la définition de ton cours pour "suite de limite +".

@lake,
Ton raisonnement est correct
lim (10k-1) = + n'est pas utile.

Posté par
Massisre : Suites 10-12-17 à 21:26

Dans mon cours c'est ecrit comme ca:
(Un) definie par Un=n2. Pour tout M réel positif arbitraire, n M n2 M Un M. À partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont superieurs ou egal à M. On dit alors que (Un) diverge et que limite de Un = +

Posté par
lakere : Suites 10-12-17 à 22:17

Autrement dit, dire qu'une suite (u_n)  diverge vers +\infty revient à dire que:

pour tout M réel, il existe n_0\in\mathbb{N} tel que n\geq n_0\Longrightarrow u_n\geq  M

Dans ton exercice, M réel quelconque étant fixé, il suffit de choisir n_0=10^{k_0}-1 tel que k_0\geq\dfrac{10}{9}\,M avec k_0 entier naturel.

Alors, u_n=u_{10^{k_0}-1}\geq \dfrac{9k_0}{10}\geq M

On a bien prouvé que pour tout réel M, à partir de ce rang n_0, tous les termes de la suite (u_n) sont supérieurs ou égaux à M

  ou encore: \lim\limits_{n\to +\infty}u_n=+\infty

Merci à toi Sylvieg d'être passée ici

Posté par
lakere : Suites 10-12-17 à 23:49

Citation :
Alors, u_n=u_{10^{k_0}-1}\geq \dfrac{9k_0}{10}\geq M


J'aurais dû écrire:

Alors, u_{n_0}=u_{10^{k_0}-1}\geq \dfrac{9k_0}{10}\geq M

et comme (u_n) est croissante, pour tout n>n_0, on a:

u_n\geq u_{n_0}\geq M

et la suite: on a bien prouvé...

Posté par
lafol Moderateurre : Suites 11-12-17 à 19:05

Bonjour
autre méthode légèrement différente : s'il existait \ell réel tel que \lim_{n\to\infty}u_n=\ell, on aurait aussi \lim_{n\to\infty}(u_{2n}-u_n)=\ell-\ell = 0
or u_{2n}-u_n = \dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n+2}+\cdots +\dfrac{1}{n+n} \geq\dfrac{1}{n+n} +\dfrac{1}{n+n}+\cdots +\dfrac{1}{n+n} = n\times\dfrac{1}{2n} = \dfrac 12 : la limite ne saurait être strictement inférieure à 1/2

donc la suite ne converge pas
or quand une suite croissante diverge, c'est forcément vers l'infini (mais Massis ne l'a peut-être pas encore appris)

Posté par
lakere : Suites 11-12-17 à 21:20

Bonjour lapasifol,

Oui, c' est une solution possible, mais il y a le "en déduire" de l'énoncé

Posté par
lafol Moderateurre : Suites 11-12-17 à 21:43

je la proposais comme alternative à l'ensemble des questions 2-3-4-5, que pour ma part je trouve un peu lourdingue (ça ne peut pas répondre à l'exercice tel qu'il est posé)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suites 12-12-17 à 07:19

Bonjour,
Cheminement lourdingue peut-être, mais original et ne nécessitant pas de savoir qu'une suite croissante admet toujours une limite finie ou infinie.


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