salut jesse
bon je te ferai pas l'affront de te donner U2, V2 , U3 , et V3
pour Wn et bien tu calcules simplement Wn+1 =Vn+1 - Un+1 et tu vas
voir apparaitre Wn+1=k(Wn) et donc Wn sera une suite géo de raison
k que tu précisera et avec un peu de chance k<1 et donc la limite
sera 0

pour les variations tu calcules Un+1 en remplaçant Vn par Wn+Un et ensuit
tu caalcules Un+1 - Un et tu trouves son signes sachant que le signe
de Wn est fastoche car suite géo
voilà
bonne chance pour la suite
  

je suis désolée lolo jte remercie pour ton aide mais jtavoue que
je suis assez nulle..de ce fait je comprends rien...
merci

Bonjour Jesse


- Question 1 -
Je te fais le calcul pour u₂ et à toi de faire le reste
u₂ = u₁₊₁
= (u₁ + 2v₁)/3
= (1 + 2×12)/3
= 25/3



- Question 2 -
w_n+1 = v_n+1 - u_n+1
= (u_n + 3v_n)/4 - (u_n+2v_n)/3
= 1/4 u_n + 3/4 v_n - 1/3 u_n - 2/3 v_n
= -1/12 u_n + 1/12 v_n
= 1/12 (v_n - u_n)
= 1/12 w_n

Je te laisse conclure ...

Voilà déjà pour le début, j'espère que c'est clair
A toi de tout refaire et de tout vérifier, essaie de faire la suite
(au moins les calculs) et pose des questions précises

Bon courage ...

bonsoir permettez de vous répondre.

o les 2 suites (Un) et (Vn) définies , pour tout entier n>=1
par :

U1=1 et U(n+1)=(Un+2Vn)/3

V1=12 et V(n+1)= (Un + 3Vn)/4

1.calculer U2, V2 , U3 , et V3?
U2=(U1+2V1)/3=25/3
V2=(U1+3V1)/4=37/4

U3=(U2+2V2)/3=(25/3 + 37/2)/3=(50+111)/18=161/18
V3=(U2+3V2)/4=(25/3  +  111/4)/4=(100+333)/48=433/48

2. on pose Wn=Vn-Un

W(n+1)=V(n+1)-U(n+1)
             = (Un+2Vn)/3  -  (Un + 3Vn)/4
             = (4Un+8Vn-3Un-9Vn)/12
             =(Un-Vn)/12
             = Wn/12

donc Wn est une suite géométrique de raison 1/12 et de premier terme Wo=Uo-Vo=-11.

donc Wn=W1.(1/12)^(n-1)

come 1/12<1 donc lim(1/12)^(n-1)=0

donc limWn=0 lorsque n tend vers +oo.


3.Etudier le sens de variations des suites (Un) et (Vn) puis démontrer alors
que ces deux suites sont adjacentes. ?

V(n+1)-U(n+1)= -11(1/12)^n<0 qq soit n

U(n+1)-Un=(Un+2Vn)/3 -Un=(-2Un+2Vn)/3=2/3(-Un+Vn)
                  =2/3Wn<0
donc (Un) est décroissante.
                  
V(n+1)-Vn=(Un + 3Vn)/4 -Vn=(Un-Vn)/4=-Wn/4>0

donc (Vn) est croisante.

en résumé

(Un) est décroissante,
(Vn) est croissante
lim(Vn-Un)=0 donc les deux suites (Un) et (Vn) sont adjacentes


que peut on en déduire? Donc Un et Vn convergent vers la même limites.

4.on considère à présent la suite (tn) définie , pour tout entier naturel
n , par tn= 3Un +8Vn

démontrer que cette suite est constante.?

T(n+1)-Tn= (3U(n+1)+8V(n+1))- (3Un+8Vn)
                 = (Un+2Vn+2Un+6Vn)-(3Un+8Vn)
                 =(3Un+8Vn)-(3Un+8Vn)
                 =0

donc qq soit n T(n+1)-Tn=0

donc qq soit n T(n+1)=Tn

donc Tn est une suite constante et vaut:

Tn=3U1+8V1=3+8.12=3+96=99.

donc qq soit n :3Un+8Vn=99

et en déduire la limite des suites (Un) et (Vn) ?

comme limUn=limVn=l  ; les deux suites ont la même limite.

en passant à la limite dans 3Un+8Vn=99 on obtient:

lim(3Un+8Vn)=99

ssi 3limUn+8limVn=99
ssi 3l+8l=99
ssi 11l=99
ssi l=99/11=9
donc l=limUn=limVn=9

voila je vous remercie
bon courage

Bonsoir Océane.
Mille excuses je n'ai vu que vous avez commencé à répondre.

Bonsoir Watik,
mais je vous en prie. D'autant plus que votre réponse est beaucoup
plus complète que la mienne et Jesse en sera d'autant plus ravie

Bonne soirée