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Niveau Reprise d'études
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Suites

Posté par
ahl1700
07-03-18 à 12:47

Bonjour à tous et merci d'avance pour votre aide.

On a :

U_0 = 2    et   U_{n+1}=-\frac{1}{2}Un^2+3Un-\frac{3}{2}

1) Calculer les valeurs exactes, de U1 et U2.
2) Donner la valeur approchée à 10^{-5} de U3 et U4.
3) Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite Un.

J'écris juste les réponses si cela vous dérange pas

1)U_1= \frac{5}{2}           U_2=\frac{23}{8}

2) U_3= 2,99219              U_4= 2,99997

3) je dois faire Un+1- Un pour le sens de variation et calculer la limite pour la convergence ? (même si on constate déjà qu'elle tend vers 3)

Posté par
geronimo 652
re : Suites 07-03-18 à 13:21

Bonjour,

Conjecture = faire une hypothèse sans démonstration
Il semblerait que la suite (Un) soit croissante et qu'elle converge vers 3.

Vu que c'est une conjecture, tout est au conditionnel

Posté par
ahl1700
re : Suites 07-03-18 à 13:27

Oh ok je me suis cassée la tête en faisant un changement de variable, j'ai commencé a faire un tableau de variation et dérivée :P:P vive la conjecture
Mais par pure curiosité par quel moyen aurais-je pu le prouver ?

Posté par
geronimo 652
re : Suites 07-03-18 à 13:45

Question intéressante et abordable mais avec quelques cas à distinguer selon la valeur de u_1.

Quelques pistes de réflexion:
u_{n+1} = f(u_n)
avec  f : x \in R \mapsto -\frac{1}{2}x^2 + 3x - \frac{3}{2}

pour la limite de la suite l: forcément solution de l=f(l) et on arrive à l'équation (l-1)(l-3)=0
Vu que u_1 > 1, l=3. En fait cette petite ligne il faut la travailler plus, étudier f, trouver un intervalle stable par f

Par exemple I=[3/2;7/2] est stable par f, donc si u_1 \in I alors pour ton n, u_n \in I
u_1 = 2.5 appartient à I, donc pour tout n, u_n appartient à I
et la limite est 3.


Posté par
geronimo 652
re : Suites 07-03-18 à 13:51

trop rapide,  pour que u_n soit monotone il faut que f soit strictement croissante
et f est strictement croissante sur  ]-\infty,3]

Donc prendre I=[3/2;3] tout simplement
I stable par f (f(3/2) = 2.8 et f(3) = 3), f croissante sur I, (u_n) est alors monotone, u_1<u_2 donc (u_n) croissante.
f(l)=l avec u_1 > 1 donne l=3

et c'est tout juste

Posté par
ahl1700
re : Suites 07-03-18 à 14:13

Tu as sauté trop d'étapes pour mon petit cerveau

As-tu fais Un+1- Un>0 ?

Posté par
geronimo 652
re : Suites 07-03-18 à 14:33

Je le refais avec une ligne en plus
Travaillons sur I=[1.5;3]
f est croissante sur I.
Donc (u_n) définie par u_{n+1}=f(u_n) est monotone (soit strictement croissante, soit strictement décroissante. Voir le cours, ça se montre bien par récurrence avec l'étape clé: si u_{n-1}< u_n alors f( u_{n-1}) < f(u_n) car f est croissante puis u_n < u_{n+1}).
Comme u_1<u_2, (u_n) est strictement croissante.

Posté par
rijks
re : Suites 07-03-18 à 14:47

Bonjour,
Je profite de cet exercice, car je ne sais pas le faire, comment calcule t on la limite en fonction de U0 ?

Posté par
geronimo 652
re : Suites 07-03-18 à 15:06

ici u_1 \in I=[\frac{3}{2},3] et la limite de la suite est soit 1 soit 3. Or 1 \notin I. Donc la suite converge vers 3.


Admettons que je trouve J intervalle fermé inclus dans ]-\infty,1] stable par f (a priori y a pas ici ), et u_1 \in J, la limite aurait été 1.

Mais n'allez pas chercher trop loin, vos exercices sont bien fait et on ne doit pas trop se poser de question

Posté par
ahl1700
re : Suites 07-03-18 à 15:54

En fait de U_0  à   U_4     U_n   tend   vers  3  c'est ce que tu veux dire?

Posté par
geronimo 652
re : Suites 07-03-18 à 16:51

je dis juste que \lim_{n\to +\infty} = 3

Et sur les u_0, u_1, ..., u_n
vu que [1,5;3] est stable par f, et u_0 appartient à [1.5,3], tout les termes de la suite sont dans [1.5,3].

Posté par
geronimo 652
re : Suites 07-03-18 à 17:01

un exemple similaire ici : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un)

En espérant que ça va éclaircir mes propos

Posté par
ahl1700
re : Suites 13-03-18 à 20:48

Pardon de répondre si tard merci geronimo je vais regarder tout cela

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