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Suites

Posté par
ter20 13-03-18 à 21:52

Bonsoir,

J'ai plusieurs questions concernant les suites :

1. Dans mon cours, voici comment on a démontré la propriété suivante :
"Soit (un) une suite convergente dont on notera U la limite. Alors :
lim (*un)=*U
n

Démonstration :
On suppose que 0.
|un-U|=|| |(un-U)|.

La suite (un) converge, donc pour tout >0 donné :
N, (n>N= (|un-U| < / ||.

Ce qui permet de conclure.

Mais c'est justement ce "ce qui permet de conclure" écrit par mon professeur que je ne comprends pas... En fait, j'ai l'impression que la démonstration est désorganisée, que l'on termine par quelque chose que l'on sait déjà, enfin je ne trouve pas claire cette démonstration... Pourriez-vous me la clarifier s'il vous plaît ?

2. Pourquoi si on a deux suites (un) et (vn) convergentes de limites respectives U et V, et si n, un<vn, on ne peut que écrire UV et non U<V ?

3. Pour démontrer la propriété suivante :

"Si (un) est une suite convergente de limite U et si n, un0, alors U0",
mon professeur a utilisé une contraposée.

Voici ce qu'il a fait :
"Supposons que U<0. Alors, il existe >0 tel que U<U+<0 (déjà je ne comprends pas ce "tel que"...). Or la convergence de (un) implique que pour cet on a :
N, n, (n>N) U- < un < U+.
On obtient donc des indices n pour lesquels un<U+<0 ce qui est la négation de n, un0.

Mais je ne comprends pas cette dernière phrase, pourquoi serait-ce la négation ? Cette démonstration me semble encore peu claire...

4. Je dois démontrer la propriété suivante :

"Soit (vn) une suite convergeant vers 0 et soit (un) une suite bornée, alors la suite (unvn) tend vers 0."

Voici ce que je propose :

(vn) est une suite convergeant vers 0, donc on peut écrire :
>0, N, n, (n>N | vn | < ).
ET : (un) est une suite bornée, donc on peut écrire :
M , n, |un| M.

Donc par produit : | vn | *  |un| < * M.
D'où : | vn * un | < * M.

Mais je n'arrive pas à conclure, et m'embrouille un peu : quels quantificateurs faut-il mettre pour les deux propositions précédentes ?

Je vous remercie beaucoup pour votre aide, j'en ai bien besoin.

Bonne soirée.

Posté par
Schtromphmolre : Suites 13-03-18 à 23:07

Bonsoir,

1) On a appliqué la définition de la limite pour u_n \rightarrow U, on a donc pour tout epsilon, \exists N\in\N, \forall n \geq N, |u_n - U| \leq \frac{\epsilon}{|\lambda|} ce qui permet en multipliant par |\lambda| dans l'inégalité d'obtenir la définition de la limite pour \lambda u_n \rightarrow \lambda U.

2) Prendre u_n = \frac{1}{n} et v_n = \frac{1}{n+1}.

3) Si on a  des réels a et b tels que a < b et que epsilon est assez petit, alors a < a + epsilon < b. Ensuite on a u_n < U + \epsilon < 0, donc \exists n\in\N, u_n < 0 qui est bien la négation de \forall n\in\N, u_n \geq 0.

4) Une fois qu'on a écrit les définitions il faut écrire un raisonnement propre avec des "pour tout", des "il existe", introduire les objets su'on manipule.
Écrire le résultat qu'on cherche à montrer aide énormément, ici \forall \epsilon > 0, \exists N\in\N, \forall n>N, |u_n v_n| < \epsilon. Et donc on y va, comme ça commence par un quantificateur universel on écrit "Soit epsilon > 0..." et on essaye de trouver un N convenable en utilisant les hypothèses.

Posté par
ter20re : Suites 14-03-18 à 00:55

Merci pour la réponse.

1. Mais la définition de la limite, ce n'est pas plutôt :
>0, n, n, (n>N | un-U | < ) ?
Alors qu'ici on a >0, n, n, (n>N | un-U | < / || ? Ce qui est bien différent, non ? Pourquoi pourrait-on écrire cela ?

2. OK !

3. OK !

4. Du coup, il faut rajouter vos quantificateurs à ma réponse ? En fait, je crois que mon problème est un peu lié à celui de la question 1 : on doit toujours avoir < dans la caractérisation de la limite, non ?

Merci pour votre aide.

Posté par
larrechre : Suites 14-03-18 à 08:11

Bonjour,

Citation :
Ce qui est bien différent, non ?

Pourquoi ? \epsilon étant arbitraire , \dfrac{\epsilon}{|\lambda|}, l'est tout autant

Posté par
larrechre : Suites 14-03-18 à 08:14

arbitraire et positif, bien entendu.

Posté par
luzakre : Suites 14-03-18 à 08:22

Bonjour !
Si tu tiens à "finir" par <\varepsilon ce qui est ton droit il faut parfois commencer avec des \varepsilon' qui t'arrangent.

1. Tu prends \varepsilon>0 et tu veux arriver avec <\varepsilon \\ .
Personne ne t'empêche de dire : soit \varepsilon'=\dfrac{\varepsilon}{\lambda}>0
Il existe p tel que n>p\implies|u_n-U|<\varepsilon'=\dfrac{\varepsilon}{\lambda} et tu termines.

4.
Soit \varepsilon>0.
suite bornée : \exists M\in\R_+^*,\;\forall n\in\N,\;|u_n|<M.
Puisque \varepsilon'=\frac{\varepsilon}M\in\R_+^*, par convergence vers 0 de la suite n\mapsto v_n : \exists p\in\N,\;n>p\implies|v_n|<\varepsilon'=\dfrac{\varepsilon}M
et tu peux terminer.

Avec un peu d'expérience il y a des étapes qu'on ne précise plus (définir un \varepsilon' par exemple).


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