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Suites

Posté par
ahl1700 13-03-18 à 21:53

Bonsoir et merci d'avance pour votre aide.

Soit la suite numérique défini par:

U_0= 2   et   pour   tout   entier   naturel   n  ,    U_{n+1}=  \frac{2}{3}U_n + \frac{1}{3}n +1
1) a)  Calculer U1,U2,U3 et U4 et donner une valeur approchée à   10^{-2}
     b) formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.

2)a) Démontrer que pour tout entier naturel n:
U_n\le n+3

Je vous évite les détails:

a)  U_1= \frac{7}{3}= 2,33 \\ \\ U_2= \frac{26}{9}= 2,89 \\ \\ U_3=\frac{97}{27}=3,59 \\ \\ U_4= \frac{356}{81}= 4,40

b) Il semblerait que la sui Un soit croissante.

2) U_0\le n+3 -->  2\le 3  vérifier pour U0.
Après je suis pas sûre.

\frac{2}{3}U_n \le \frac{2}{3}n+2

\frac{2}{3}U_n+\frac{1}{3}n \le n+2

\frac{2}{3}U_n + \frac{1}{3}n +1\le n+3

que dois-je faire avec ce résultat

Posté par
caritare : Suites 13-03-18 à 22:15

bonsoir

1) ok

2) tu as essayé de démontrer par récurrence ?

Posté par
caritare : Suites 13-03-18 à 22:20

oups, je t'ai lue trop vite...

2)
initialisation ok

hérédité :
on suppose que  Un   n+3

et on doit montrer que  Un+1   n+4

donc...

Posté par
ahl1700re : Suites 13-03-18 à 22:22

Ben justement je me perds à chaque fois je ne sais plus ou aller  

Posté par
caritare : Suites 13-03-18 à 22:24

tu arrives à   Un+1   n+3   n+4

et picéfini

Posté par
ahl1700re : Suites 13-03-18 à 22:25

Pardons mais je ne comprends pas d'ou vient le n+4  

Posté par
caritare : Suites 13-03-18 à 22:32

je pense que ta difficulté provient du fait que tu n'as pas structuré ta démo par récurrence.

si on rédige correctement la partie hérédité, tout devient plus clair :

hypothèse de récurrence :
On suppose que la proposition Pn : Un   n+3  est vérifiée au rang n.
Montrons que Pn+1 reste vraie au rang n+1, c'est-à-dire que l'on a Un+1   (n+1)+3,
soit Un+1  n+4 ------ voilà ce à quoi tu dois arriver

dans ce que tu as écrit, tu arrives à Un+1  n+3

or, si c'est à n+3,
c'est a fortiori à n+4 !

donc tu peux conclure

as-tu compris ?

Posté par
ahl1700re : Suites 13-03-18 à 23:14

Oh oui il me manquait un bout je n'arrive jamais à voir l'ensemble mais petit à petit avec la pratique.

L'exercice n'est pas fini, je continue:

2)b) démontrer que pour tout entier naturel n:
U_{n+1}-U_n =\frac{1}{3}(n+3-U_n)

\frac{2}{3}Un+\frac{1}{3}n+1- U_n  =  -\frac{1}{3}Un+\frac{1}{3}n +\frac{3}{3}  = \frac{1}{3}(n+3_U_


c) En déduire une validation de la conjecture précédente

Je devrais faire :

soit   \frac{1}{3}\ge 0   soit    n+3-Un\ge 0  

pour le premier c'est facile mais le deuxième un peu moins cela ressemble étrangement au 2)a) mais je serais pas ou aller

Posté par
caritare : Suites 13-03-18 à 23:36

très rapidement :

en 2b) tu as établi la différence entre 2 termes consécutifs,
et tu obtiens un produit

en 2c) tu as montré que les 2 facteurs (1/3) et (n+3-Un) sont toujours positifs
donc leur produit est ...?
donc la différence Un+1 - Un est ...?
donc la suite est ...?

bonne continuation !

Posté par
ahl1700re : Suites 14-03-18 à 10:39

Merci Carita, si quelqu'un peut m'aider encore j'ai besoin de quelques précisions.

Devrais-je formuler ainsi:

Pour tout entier naturel n1 ,     U_{n+1}-Un\ge 0

Posté par
ahl1700re : Suites 14-03-18 à 10:40

Donc la suite Un est croissante.

Posté par
caritare : Suites 14-03-18 à 10:42

oui, mais pourquoi n 1  ?

Posté par
ahl1700re : Suites 14-03-18 à 10:44

mea culpa pour tout entier naturel pas supérieure à 1

Posté par
caritare : Suites 14-03-18 à 10:48

tout entier naturel pas supérieure à 1   
tout entier naturel n 0

Posté par
ahl1700re : Suites 14-03-18 à 11:20

je suis un peu distraite...

On continue
3) Soit Vn définie par   V_n= Un -n
a)Démontrer que Vn est une suite géométrique de raison2/3.
Je sais que je dois arriver à :  \frac{V_{n+1}}{V_n}=q   mais voilà mon problème.

Déjà je commence par définir  V_{n+1}

V_{n+1}= \frac{2}{3}U_n+\frac{1}{3}n-\frac{3}{3}n+1 \\ \\          =  \frac{2}{3}U_n-\frac{2}{3}n +1 \\ \\          =  \frac{2}{3}(Un-n)+1

mais ça ne m'avance pas trop le 1 me gêne, je ne vois pas comment faire


                  

Posté par
caritare : Suites 14-03-18 à 11:44

c'est la bonne méthode, mais tu as fait une erreur

Vn = Un - n  
donc
Vn+1 = Un+1 - (n+1) --- et hop, le +1 va disparaitre

Posté par
ahl1700re : Suites 14-03-18 à 13:05

Je fais des erreurs débiles arfffff. J'éguise petit à petit

Continuons.
b) En déduire que pour tout entier naturel n:   Un= 2(\frac{2}{3})^n +n

Bon on nous à déjà dit que Vn= Un-n donc c'est logique que Un=Vn+n, après on à prouvé que la raison de Vn était 2/3. donc on a déjà:

Un= (\frac{2}{3})^n +n  comment incorporer le 2

Posté par
caritare : Suites 14-03-18 à 13:47

là encore, tu dois aiguiser
dommage, parce que tu connais les méthodes...

rappel :
Vn géométrique :  Vn = V0 * qn

et V0 = ...?

Posté par
ahl1700re : Suites 15-03-18 à 16:54

Oh oui j'aiguise jour après jour

On a  :

V_n= 2*(\frac{2}{3})^n

Donc :

U_n= 2*(\frac{2}{3})^n+n

Merci beaucoup Carita je pu comprendre mes lacunes je vais travailler dessus.
A bientôt

Posté par
caritare : Suites 15-03-18 à 17:03

bonne suite


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