Bonjour a tous je suis bloque sur cet exo. Pourriez vous m aider
s il vous plait
On considère une suite geometrique strictement decroissante definie
sur N* dont tous les termes sont positifs.
1- Sachant que l on a U1 * U3=144 et U1 + U2 + U3 =63 , determinez
la suite (Un)
2- Calculez Un et S=U1 + U2 + ... + Un en fonction de n.
Le ^ correspond à l'exposant.
Le _ correspond à l'indice (exemple: Un=U_n)
Pour déterminez (Un), il faut trouver la raison.
Rappel: une suite géométrique a pour expression : Un=U0 x q^n
Comme on démarre à partir de U1, on aura Un= U1 x q^(n-1)
On sait également que : U_(n+1)= q x Un d'où:
U3= q x U2 => q=U3/U2
U2= q x U1 => q=U2/U1
On en déduite que : q=U3/U2=U2/U1
=> U3 x U1=U2^2 (U2 au carré)
Or dans l'énoncé on nous donne U3 x U1 = 144
donc U2^2= 144 => U2=144 ou U2= - 144
Comme tous les termes sont positifs on a U2 = 12
Cela ne nous permet pas encore de trouver la raison. Il nous faut calculer
soit U1 ou soit U3. Je décide de calculer U1.
Dans l'énoncé, on donne: U1 + U2 + U3=63 or U1 x U3=144 donc U3=144/U1
J'obtiens alors: U1 + 12 + 144/U1 = 63
Je multiplie par U1 l'expression précédente et j'obtiens:
U1^2+12U1 + 144 = 63U1
U1^2 - 51U1 + 144=0 (équation du second degré)
On calcul (tu devrais trouver 2025) et on trouve
deux solutions. La seule solution qui est correct doit vérifier U1>U2
(car la suite est décroissante)
Au final, tu dois trouver U1=48.
Pour calculer q, tu utilises par exemple : q=U2/U1=1/4
Conclusion : Un=48 x (1/4)^(n-1)
Pour la deuxième question, tu utilises la formule de la somme des termes
d'une suite géométrique: Sn=U1 x (1-q^(n-1)) / (1-q) (il faut
toujours prendre n-1 comme exposant car on démarre de U1 et pas de
U0).
Bonne continuation.
1)
Soit q la raison de la suite avec q > 1.
U2 = q.U1
U3 = q².U1
U1 * U3 = q².(U1)²
-> q².(U1)² = 144
q.U1 = 12 (1)
U1 + U2 + U3 = U1 + qU1 + q(q.U1) = 63
U1 + 12 + 12q = 63
U1 + 12q = 51
U1 = 51 - 12q (2)
(2) dans (1) ->
q(51 - 12q) = 12
12q² - 51q + 12 = 0
Dont la racine > 1 est q = 4.
(1) -> U1 = 12/4 = 3
La suite Un est la suite géométrique de premier terme U1 = 3 et de raison
= 4.
-----
2)
S est la somme de n termes en progression géométrique de premier terme
U1 = 3 et de raison = 4.
->
S = 3*((4^n) - 1)/(4 - 1)
S = (4^n) - 1
-----
Sauf distraction.
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