Bonjour ! J'ai un exercice à faire sur les suites, et j'aurais besoin de votre aide pour une question, qui m'empêche de résoudre les autres. Merci !

Voici l'énoncé :

On a Un =( n²)/ 2^n       et        U(n+1)=3/4Un

On pose, pour tout entier naturel n>=5 :

Sn = u5 + u6 + ... + un


1) a) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n>=5 :

                           Un <= [ (3/4)^(n-5) ]  x   u5

b) Montrer que pour tout entier naturel n>=5 :

Sn <=   [ 1 +3/4 + (3/4)² + ....+ (3/4)^(n-5) ]    x    u5


c) En déduire que pour tout entier naturel n >=5 :

Sn <= 4 x u5


2) Montrer que la suite Sn  (pour tout n supérieur ou égal à 5) est croissante et en déduire qu'elle converge.

Pour la question 1a) je n'ai eu aucun problème avec la récurrence, j'ai fait l'initialisation et l'hérédité ce qui m'amène à trouver

U(n+1) <= [ (3/4)^(n+1-5) ] x u5

Donc la propriété est héréditaire.

Pour la 1)b) j'hésite un peu :

On a bien Sn = u5 + u6 + ...+ un =  somme des u(5+k) avec k allant de 0 à (n-5)

Donc Sn <= [ somme des (3/4)^(5+k-5) ] x u5

                     <= [somme des (3/4)^(k)] x u5

                     <= [ 1+ (3/4) + (3/4)² +...+ (3/4)^(n-5) ] x u5

Je ne sais pas trop si cette justification va, mais c'est tout ce que j'ai réussi à faire.

1) c) Je n'arrive pas à prouver que Sn <= 4 u5

2)Pour la 2 je vais utiliser le théorème  ''toute suite croissante et majorée est convergente'' , mais je ne sais pas démontrer que la  somme des termes d'une suite est croissante.

J'ai pensé à faire S(n+1)- Sn mais je n'y arrive pas.


Merci de votre aide !