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Suites

Posté par
Samsco 28-04-20 à 12:56

Bonjour j'ai besoin de votre aide svp

Exercice :

Soit (Un)n  la suite de terme général :

U_n=\dfrac{1}{n(n+1)}

1. Déterminer deux nombres réels a et B tels que :
\forall n\in\mathbb{N*}~,~U_n=\dfrac{a}{n}+\dfrac{b}{n+1}

2. Calculer , en fonction de n , la somme Sn des n premiers termes de cette suite .

3. Calculer la limite de la suite S(n)

Réponses :

1.

\dfrac{a}{n}+\dfrac{b}{n+1}=\dfrac{a(n+1)+bn}{n(n+1)}
Je suis bloqué

Posté par
PLSVUre : Suites 28-04-20 à 13:15

Bonjour,
détermine a et b   sachant que
a(n+1)+bn=1

Posté par
Pirhore : Suites 28-04-20 à 13:26

Bonjour!

je ne fais que passer!

on peut aussi remarquer que

\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{n+1}{n(n+1)}-\dfrac{n}{n(n+1)}

Posté par
carpediemre : Suites 28-04-20 à 13:26

et se rappeler que 1 = 0 * n + 1 ...

Posté par
Samscore : Suites 28-04-20 à 13:31

OK

\ \\ U_n=\dfrac{0*n+1}{n(n+1)} \\ \\ U_n=\dfrac{(a+b)n+a}{n(n+1)

Par identification , on a :
a+b=0
a=1
Donc b=-1

Posté par
Samscore : Suites 28-04-20 à 13:32

OK

\\ U_n=\dfrac{0*n+1}{n(n+1)} \\ \\ U_n=\dfrac{(a+b)n+a}{n(n+1)}

Par identification , on a :
a+b=0
a=1
Donc b=-1

Posté par
Samscore : Suites 28-04-20 à 14:22

U_n=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1} \\ \\ S_n=U_1+U_2+U_3+....+U_n

Posté par
Samscore : Suites 28-04-20 à 18:21

Alors c'est Juste ?

Posté par
carpediemre : Suites 28-04-20 à 18:48

oui mais il faut calculer S_n ... en fonction de n ...

Posté par
Samscore : Suites 28-04-20 à 19:39

Et comment faire ça?

Posté par
carpediemre : Suites 28-04-20 à 20:07

commence avec des petites valeurs de n avec

Samsco @ 28-04-2020 à 14:22

U_n=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1} \\ \\ S_n=U_1+U_2+U_3+....+U_n

Posté par
Samscore : Suites 28-04-20 à 20:33

On a :

S1=U1=1/2

S2=S1+U2=2/3

S3=S2+U3=3/4

S4=S3+U4=4/5

Posté par
carpediemre : Suites 28-04-20 à 20:48

non ... enfin oui !!!

mais écris en extension chaque somme du premier au dernier terme !!!

Posté par
Samscore : Suites 28-04-20 à 22:22

S1=U1=1/2
S2=U1+U2=(1/2)+(1/6)
S3=U1+U2+U3=(1/2)+(1/6)+(1/12)
S4=U1+U2+U3+U4=(1/2)+(1/6)+(1/12)+(1/20)
S5=(1/2)+(1/6)+(1/12)+(1/20)+(1/30)

Posté par
carpediemre : Suites 29-04-20 à 09:08

carpediem @ 28-04-2020 à 20:07

commence avec des petites valeurs de n avec
Samsco @ 28-04-2020 à 14:22

U_n=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1} \\ \\ S_n=U_1+U_2+U_3+....+U_n
mais bon sang !!! tu le fait exprès ou quoi  ?

à quoi sert la question 1/ ?

Posté par
Samscore : Suites 29-04-20 à 14:34

Comme ça?

S_1=1-\dfrac{1}{2} \\ \\ S_2=\left(1-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)=1-\dfrac{1}{3} \\ \\ S_3=\left(1-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\right)=1-\dfrac{1}{4} \\ \\ S_n=1-\dfrac{1}{n+1}

Posté par
carpediemre : Suites 29-04-20 à 14:59

ha ben enfin !!!

maintenant il s'agit de justifier proprement ce résultat ...

Posté par
Samscore : Suites 29-04-20 à 15:07

carpediem @ 29-04-2020 à 14:59

ha ben enfin !!!

maintenant il s'agit de justifier proprement ce résultat ...

Ah ,bon , moi je pensais que ce que j'avais justifiait déjà le résultat

Posté par
Samscore : Suites 29-04-20 à 15:15

Sinon Comment je peux justifier ?

Posté par
carpediemre : Suites 29-04-20 à 19:10

S_n = \sum_1^n \left( \dfrac 1 n - \dfrac 1 {n + 1} \right) = \sum_1^n \dfrac 1 n - \sum_1^n \dfrac 1 {n + 1} = \sum_1^n \dfrac 1 n - \sum_2^{n + 1} \dfrac 1 n = ...

Posté par
Samscore : Suites 29-04-20 à 21:12

En classe , on a pas encore vu ce genre d'écriture( ) même pour les binômes de newton ,mon prof l'a écrit avec des nCp
Je sais que ça signifie :somme , mais je ne retrouve pas surtout avec les lettres qu'on ajoute en haut et en bas.

Posté par
carpediemre : Suites 30-04-20 à 08:37

je me suis d'ailleurs mélangé avec les lettres :

carpediem @ 29-04-2020 à 19:10

S_n = \sum_1^n \left( \dfrac 1 k - \dfrac 1 {k + 1} \right) = \sum_1^n \dfrac 1 k - \sum_1^n \dfrac 1 {k + 1} = \sum_1^n \dfrac 1 k - \sum_2^{n + 1} \dfrac 1k  = ...


\sum_{k = 1}^{k = n} \dfrac 1 k = \dfrac 1 1 + \dfrac 1 2 + \dfrac 1 3 + \cdots + \dfrac 1 {n - 1} + \dfrac 1 n

Posté par
Samscore : Suites 30-04-20 à 10:21

Mais je ne comprends pas comment ça justifie l'expression de Sn

Posté par
carpediemre : Suites 30-04-20 à 11:04

écris les deux sommes proprement sans le symbole comme je l'ai fait au dessus ...

Posté par
Samscore : Suites 30-04-20 à 13:25

Sn=\dfrac 1 1 + \dfrac 1 2 +\dfrac 1 3 +.....+ \dfrac{1}{n-1}+\dfrac 1 n

Posté par
carpediemre : Suites 30-04-20 à 13:41

faux tu n'as écrit qu'une seule somme : cele que j'avais déjà écrite  !!!

carpediem @ 30-04-2020 à 08:37

S_n = \sum_1^n \left( \dfrac 1 k - \dfrac 1 {k + 1} \right) = \sum_1^n \dfrac 1 k - \sum_1^n \dfrac 1 {k + 1} = \sum_1^n \dfrac 1 k \red - \sum_2^{n + 1} \dfrac 1k  = ...

\sum_{k = 1}^{k = n} \dfrac 1 k = \dfrac 1 1 + \dfrac 1 2 + \dfrac 1 3 + \cdots + \dfrac 1 {n - 1} + \dfrac 1 n
il manque celle en rouge ...

Posté par
PLSVUre : Suites 30-04-20 à 13:41

Bon jour,

Relis le dernier message de carpediem écris les deux sommes proprement sans le symbole ....
Tu   n'as écrit qu'une seule somme

Posté par
Samscore : Suites 30-04-20 à 14:11

Deuxieme somme:

S=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+....+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}

Posté par
carpediemre : Suites 30-04-20 à 15:56

mais bon sang tu sais faire un calcul exact et complet ?????

carpediem @ 30-04-2020 à 13:41

faux tu n'as écrit qu'une seule somme : cele que j'avais déjà écrite  !!!

carpediem @ 30-04-2020 à 08:37

S_n = \sum_1^n \left( \dfrac 1 k - \dfrac 1 {k + 1} \right) = \sum_1^n \dfrac 1 k - \sum_1^n \dfrac 1 {k + 1} = \sum_1^n \dfrac 1 k \red - \sum_2^{n + 1} \dfrac 1k  = ...  et tu ne peux pas faire en entier ce calcul et le simplifier !!!

\sum_{k = 1}^{k = n} \dfrac 1 k = \dfrac 1 1 + \dfrac 1 2 + \dfrac 1 3 + \cdots + \dfrac 1 {n - 1} + \dfrac 1 n
il manque celle en rouge ...

Posté par
Samscore : Suites 30-04-20 à 15:57

Mais je ne comprends même pas l'écriture alors comment calculer ?

Posté par
Samscore : Suites 30-04-20 à 16:18

La différence des deux sommes donne:

1+\dfrac{1}{n+1}

Posté par
Samscore : Suites 30-04-20 à 18:06

C'est bon?

Posté par
carpediemre : Suites 30-04-20 à 18:11

Samsco @ 29-04-2020 à 14:34

Comme ça?

S_1=1-\dfrac{1}{2} \\ \\ S_2=\left(1-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)=1-\dfrac{1}{3} \\ \\ S_3=\left(1-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\right)=1-\dfrac{1}{4} \\ \\ S_n=1-\dfrac{1}{n+1}

Posté par
Samscore : Suites 30-04-20 à 18:18


OK pour la derniere question:

Soit f la fonction définie sur R\{-1} par f(x)=1-\dfrac{1}{x+1}

\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{n\to+\infty}U_n=1

Posté par
Samscore : Suites 30-04-20 à 18:54

Oups , c'est pas Un

Soit f la fonction définie sur R\{-1} par f(x)=1-\dfrac{1}{x+1}

\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{n\to+\infty}S_n=1


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