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Suites

Posté par
CrevetteFacie 27-09-20 à 10:58

Bonjour,

Voici mon exercice:
Soit a un nombre réel strictement positif.
Considérons la suite (u_{n}) défini par u_{0} \in ] 0 ; +∞[ et, pout tout entier n, u_{n+1} = \frac{1}{2} ( u_{n} + \frac{a}{u_{n}} )

- Montrer que, pour tout entier naturel n : u_{n+1} - \sqrt{a} = \frac{(u_{n}-\sqrt{a})^2{}}{2_{un}}

je n'arrive pas a démontrer cette égalité.
je bloque sur u_{n+1} - \sqrt{a} = \frac{u_{n}² + a}{2u_{n}} - \sqrt{a}

Pourriez-vous m'aider ?

Posté par
Yzzre : Suites 27-09-20 à 11:08

Salut,

Mets le membre de droite au même dénominateur, puis tu devrais reconnaître une identité remarquable., ou sinon développe le numérateur que tu cherches à obtenir.

Posté par
CrevetteFaciere : Suites 27-09-20 à 11:43

en fait ma démarche c'est :
u_{n+1} - \sqrt{a} = \frac{1}{2} ( u_{n} + \frac{a}{un}) - \sqrt{a}
                                             <=>\frac{1}{2} (\frac{u_{n}²+a}{u_{n}}) - \sqrt{a}
                                             <=>\frac{u_{n}²+a}{2u_{n}} - \sqrt{a}
                                             <=>\frac{u_{n}² - \sqrt{a}+a}{2u_{n}}
mais après je ne sais pas comment arriver a l' identité remarquable.

Posté par
vhamre : Suites 27-09-20 à 11:54

Bonjour,

oubli de 2un  devant a

\dfrac{u_{n}²+a}{2u_{n}} - \sqrt{a}=\dfrac{u_{n}² - 2u_n\sqrt{a}+a}{2u_{n}}

Posté par
CrevetteFaciere : Suites 27-09-20 à 13:01

A oui x)

Du coup la il faut que je termine par factoriser le numérateur pour pouvoir trouver:
\frac{(u_{n} -\sqr{a})^{2}}{2u{_n}} ?

Posté par
Yzzre : Suites 27-09-20 à 13:23

Oui, ou tu développe le numérateur de ce que tu veux obtenir pour t'assurer que c'est bien ce que tu as

Posté par
Yzzre : Suites 27-09-20 à 13:23

* ou tu développes  

Posté par
CrevetteFaciere : Suites 27-09-20 à 13:25

D'accord merci !


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