Bonjour, je fais ce sujet car j'ai un doute en ce qui concerne la démonstration que j'ai formulé dans mon dm de mathématique, voici l'énoncé :

Sur [0;1], on construit côte à côte des triangles isocèle dont la base mesure 1/2² et la hauteur 1/n

(Remarque : si n=p, le nombre de triangles est p²)
On note Sn la somme des aires de ces triangles
a) Donner Sn en fonction de n et montrer que pour tout n > ou = 1, Sn > 0

J'ai répondu de la manière suivante :

L'aire d'un triangle est égale à : (base*hauteur)/2
                                                                     ((1/n²)*(1/n))/2 = 1/2n puissance 3

Le nombre de triangles est n²

Donc Sn = n² * 1/2n puissance 3
                    = n²/2n puissance 3

Afin de montrer que Sn>0, on doit faire la relation de récurrence ci-dessous

Propriété : Sn=n²/2n puissance  n>=1  Sn>0

Initialisation : n = 1

S1 = 1/2*1      
       = 1/1
       = 1            

La propriété est vraie pour n = 1

Hérédité : On suppose que pour Sn > 0 n=p -> p²/2p puissance 3.
                        Montrons que c'est vrai aussi pour p+1

(p+1)²/2(p+1)puissance 3
= 1/2p+1
= 1/2 * 1/2p+1
=1/2p+2

Etant donné que l'expression 1/2p+2 n'est pas négative alors 1/2p+2 est supérieur à 0 et donc la propriété est vraie pour p+1

Conclusion : pour tout n >= 1, Sn > 0

Je ne suis pas sûr que ma démonstration soit bonne, donc si quelqu'un pouvait me dire si cette solution est valable ou non ce serait très utile, merci d'avance.