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Suites

Posté par
Samsco
27-02-21 à 14:47

Bonjour j'ai besoin de votre aide svp.

Exercice :

Soit u la suite définie sur N^* par u_n=\sum_{n}^{2n}\dfrac{1}{k}

1- Démontrer que

\forall n \in \mathbb{N^*} , u_{n+1}-u_n=\dfrac{-3n-2}{n(2n+1)(2n+2)}

2- En déduire le sens de variation de la suite u.

3-Démontrer que (un) est une suite convergente.

Réponses :

1-\forall n \in \mathbb{N^*},
 \\ 
 \\ u_{n+1}-u_n=\sum_{n+1}^{2n+2}\dfrac{1}{k}-\sum_{n}^{2n}\dfrac{1}{k}
 \\ 
 \\ =\left(\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+...+\dfrac{1}{n+n}+\dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{1}{2n+2}\right)-\left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}+...+\dfrac{1}{2n}\right)
 \\ 
 \\ =-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{1}{2n+2}
 \\ 
 \\ u_{n+1}-u_n=\dfrac{-3n-2}{n(2n+1)(2n+2)}

2-
n \geq 1 \iff -3n \leq -3 \iff -3n-2 \leq -5 \iff u_{n+1}-u_n \leq 0
 \\ 
 \\ \iff u_{n+1} \leq u_n

3-
J'ai essayé de démontrer que (un) est minorée.

n \leq k \leq 2n
 \\ 
 \\ \iff \dfrac{1}{2n} \leq \dfrac{1}{k} \leq \dfrac{1}{n}

Je ne sais pas ce que l'inégalité deviendrait si je faisais intervenir \sum_n^{2n}

Posté par
Camélia Correcteur
re : Suites 27-02-21 à 14:57

Bonjour

Bon début.
Pour la minoration, tu as
\dfrac{1}{2n}\leq \dfrac{1}{n}\\
 \\ \dfrac{1}{n}\leq \dfrac{1}{n+1}\\
 \\ \vdots\\
 \\ \dfrac{1}{2n}\leq \dfrac{1}{2n-1}\\
 \\ \dfrac{1}{2n}\leq \dfrac{1}{2n}
Que trouve-t-on si on fait la somme?

Posté par
Samsco
re : Suites 27-02-21 à 15:05

Si votre deuxième égalité est en réalité : \dfrac{1}{2n} \leq \dfrac{1}{n+1}, on trouve :

u_n \geq \dfrac{n+1}{2n}

Posté par
Camélia Correcteur
re : Suites 27-02-21 à 15:14

Oui, bien sur, faute de frappe. Bon, et maintenant comment tu finis?

Posté par
Samsco
re : Suites 27-02-21 à 15:33

un ≥ (n+1)/2n >0

un est décroissante et minorée par 0 donc elle est convergente. Sinon ,

Samsco @ 27-02-2021 à 14:47


Je ne sais pas ce que l'inégalité deviendrait si je faisais intervenir \sum_n^{2n}

Posté par
Camélia Correcteur
re : Suites 27-02-21 à 15:53

D'abord tu as bien fait la somme quand tu as réuni les inégalités.
Ensuite tu peux mieux faire,

 \dfrac{n+1}{2n}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2n} > \dfrac{1}{2}

ce qui est une meilleure minoration.

Posté par
Samsco
re : Suites 27-02-21 à 15:59

D'accord merci

Posté par
Camélia Correcteur
re : Suites 27-02-21 à 16:12



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