Bonjour, j'ai un probleme sur l'exercice suivant:
Une plateforme informatique possede deux types de jeux video: un jeu de type A et un jeu de type B. On admet que,quand le joueur acheve une partie, la plateforme lui propose une nouvelle partie selon le modele suivant:
- si le joueur acheve une partie de type A, la plateforme lui propose de jouer a nouveau une partie de type A avec une probabilite de 0,8;
-si le joueur acheve une partie de type B, la plateforme lui propose de jouer a nouveau une partie de type B avec une probabilite de 0,7.
Pour tout entier naturel n superieur ou egal a 1, on note A_n et B_n les evenements:
A_n: "la n-ieme partie est une partie de type A"
B_n: "la n-ieme partie est une partie de type B"
Pour tout entier naturel n superieur ou  egale a 1, on note a_n la probabilite de l'evenement A_n.

1-a) Recopier et completer l'abre pondere ci dessous. (L'image est bas du message)
b)Montrer que pour tout entier naturel n1, on a:
a_n+1=0,5a_n+0,3

Dans la suite de l'exercice, on note la probabilite que le joueur joue au jeu A lors de sa premiere partie, et est un nombre reel appartenant  l'intervalle [0;1]. La suite (a_n) est donc definie par:
, et pour tout entier naturel n1, a_n+1=0,5a_n+0,3.
2- Etude d'un cas particulier: Dans cette question, on suppose que =0,5.
On suppose que pour tout entier naturel n1, on a : 0a_n0`6.
Montrer que la suite (a_n) est croissante.
3- Etude du cas general: Dans cette question, le reel appartient a l'intervalle [0:1]. On considere la suite (u_n) definie pour tout entier naturel n>1 par : u_n=a_n-0,6.
a)Montrer que la suite (u_n) est geometrique.
b)En deduire que pour tout entier naturel n1 on a: a_n=()0,5^n-1+0,6.

Voici ce que j'ai fait:
1-a) Voir l'image en dessous du message.
b) Pour tout entier naturel n1,on a:


2-Pour tout entier naturel n1,on a:

Or on a 0a_n0,6 ainsi 0,4a_n+0,3>0.
Par consequent a_n+1-a_n>0, la suite (a_n) est donc croissante.
3-a)Pour tout entier naturel n>1, on a:
et .

Par consequent la suite (u_n) est geometrique de raison q=0,5 et de premier terme v₁=.
b) C0est ici que j'ai un probleme,je sais que pour tout entier naturel n1, on a u_n=0,5ⁿ. Comme a_n=u_n+0,6 on a a_n= 0,5ⁿ+0,6.
Mais sur l'exercice,ils en deduisent que a_n=0,5^n-1+0,6.
Je ne comprends pas comment ils ont obtenu cette puissance n-1,j'ai regarde dans mes cours mais je n'ais rien trouve en rapport...
Merci beaucoup