Bonjour,j'ai une question sur l'exercice suivant:
Le nombre de clients potentiels du marché sur lequel sont en concurrence les sociétés LibreBox et Télécom est supposé stable et égal à 70 millions de clients.
Au premier janvier 2000, la société LibreBox possède 7 millions de clients, tandis que la société Télécom en détient 63 millions.
Chaque année, 20% de la clientèle de LibreBox change pour Télécom et de même, 20% de la clientèle de Télécom change pour LibreBox.
Soit u_n le nombre de clients (en millions) de la société LibreBox au premier janvier de l'année 2000+n. Il est clair que u₀=7.
1-a) Montrer que u₁=18,2.
b) Montrer que u_n+1=0,6×u_n+14 pour tout naturel n.
2-On considère la suite (v_n) définie,pour tout naturel n, par v_n=u_n-35.
Démontrer que la suite u_n est géométrique de raison 0,6 et donner son premier terme.
3-Exprimer u_n en fonction de n pour tout naturel n.
4-Déterminer le sens de variation de (u_n).
5- Par essais successifs, déterminer la plus petite valeur de n telle que u_n>34,8.

Voici ce que j'ai fait:
1-a) u₁= u₀×0,8 + (70-u₀)×0,2= 7×0,8 + 63×0,2= 18,2.
b)Pour tout naturel n,on a:

2-Pour tout naturel n, v_n=u_n-35 et u_n=v_n+35.

La suite (v_n) est donc géométrique de raison 0,6 et de premier terme v₀= -28.
3- Pour tout naturel n, v_n= -28×0,6ⁿ.
u_n=v_n+35= -28×0,6ⁿ+35.
4- Pour tout naturel n, 0,6ⁿ est strictement décroissant.
Comme -28<0 , (-28)×0,6ⁿ est strictement croissant.
35>0 donc la suite (u_n) est strictement croissante.
5- Je voulais demander si il fallait que je trouve le résultat à la main ou si je peux utiliser un algorithme?
Merci beaucoup