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Suites

Posté par
matheux14
24-04-21 à 21:16

Bonsoir ,

Merci d'avance.

On considere la fonction f derivable sur \R^{+} et definie par : f(x)=\dfrac{2x}{\sqrt{1+x²}}.

On admet que f est strictement croissante sur \R^{+}.

Sait la suite (Un) definie par U0=1 et \forall n \in \N , U_{n+1}=f(U_{n}).

1. a) Démontrer  par deurrence que :

i) \forall n \in \N , 1\le U_n \le \sqrt{3}.

ii) la (Un) est croissante.

b) Démontrer que la suite (Un) est convergente
puis déterminer sa limite.

2) Soit la suite (Vn) definie par : \forall n \in \N ,V_{n}=\dfrac{(U_{n})²}{3-(U_{n})²}.

a) Démontrer (Vn) est une suite géométrique dont on determiner la maison et
le premier temme.

b) En déduire que : \forall U_{n}=\sqrt{\dfrac{3×4^{n}}{3+4^{n}}}.

3. On pose : \forall n\in \N , S_{n}=\sum^{n-1}_{k=0}(U_{k})² et R_{n}=\dfrac{S_{n}}{n}.

a) Démontrer que : \forall n\in \N* , n \le S_{n}\le 3n et en déduire lim Sn.

b) Justifier que : \forall n \in \N* , S_{n} \le n(U_{n})².

c) - Justifier que : \forall n \in \N* , R_{n+1}-R_{n}=\dfrac{n(U_{n})²-S_{n}}{n(n+1)}.

-En déduire que la suite (Rn) est croissante.

-Démontrer que la suite (Rn) converge vers un réel que l'on notera \text{l}.

4) Soit p \in \N*.

a) Démontrer que pour tout entier n > p , on a : (n-p)(U_{p})² \le S_{n} \le n(U_{n-1})².

b) En déduire que pour tout entier n >p , \dfrac{n-p}{n}(U_{p})² \le R_{n} \le (U_{n-1})².

C) En déduire que , (U_{p})² \le \text{l} \le 3 , puis de la valeur de \text{l}.

Je bloque sur la question 4-a) et 4-c).

Posté par
matheuxmatou
re : Suites 24-04-21 à 23:08

bonsoir

4a :

utilise le fait que

(U_n)^2 est croissante

(dans la somme tous les termes sont inférieurs au dernier et supérieurs au premier)

et que (comme tous les termes de la somme sont positifs)

\sum_{k=0}^{n-1}U_n^2 \geqslant \sum_{k=p}^{n-1}U_n^2

Posté par
matheuxmatou
re : Suites 24-04-21 à 23:16

et pour la 4c :

pour p bloqué quelconque, passe à la limite sur n

puis comme c'est vrai pour tout p

passe à la limite sur p

Posté par
matheux14
re : Suites 25-04-21 à 10:15



Mais comment intervient le Sn demandé par l'énoncé ?

Posté par
matheuxmatou
re : Suites 25-04-21 à 10:26

un intermédiaire pour passer à Rn, moyenne des n premiers termes de (Un2)

Posté par
matheux14
re : Suites 25-04-21 à 11:05

Je parle de l'inégalité du 4-a)

Posté par
matheuxmatou
re : Suites 25-04-21 à 11:38

ben...

\sum_{k=p}^{n-1}U_n^2 \leqslant \sum_{k=0}^{n-1}U_n^2 = S_n

Posté par
matheuxmatou
re : Suites 25-04-21 à 11:39

ha oui pardon, je me suis gaufré sur les indices

\sum_{k=p}^{n-1}U_k^2 \leqslant \sum_{k=0}^{n-1}U_k^2 = S_n

Posté par
matheux14
re : Suites 28-04-21 à 19:53

Bonjour ,

Si je poursuis \sum_{k=p}^{n-1}U_k^2 \leqslant \sum_{k=0}^{n-1}U_k^2 = S_n

(n-p)U_{n-1}² \le nU_{n-1}²

(n-p)U_{n}² \le nU_{n}²

(n-p)U_{p}² \le nU_{n}²

C'est bon ?

Posté par
matheuxmatou
re : Suites 28-04-21 à 22:35

non !

déjà où est passé le Sn ?

et regarde le résultat qu'on te demande

qui plus est, le terme de gauche est faux... dans la somme ils sont tous plus grand que le premier, c'est à dire up2

\cdots \leqslant \sum_{k=p}^{n-1}U_n^2 \leqslant \sum_{k=0}^{n-1}U_n^2 = S_n \leqslant \cdots

Posté par
matheux14
re : Suites 28-04-21 à 22:58

ok , et le membre de droite ?

Posté par
matheuxmatou
re : Suites 28-04-21 à 23:00

m'enfin... suis un peu

la suite U² est croissante !

donc dans la somme ils sont tous inférieurs au plus grand



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