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suites
Bonsoir, j'ai besoin d'aide pour cet exercice !
On considère les suites (Un) et (Vn) définies pour tout entier naturel n par :
U0=V0=1
Un+1=Un+Vn
Vn+1=2Un+Vn
Dans toute la suite de l'exercice on admet que les suites (Un) et (Vn) sont strictement positives.
1)a) calculer U1 et V1
U1 = 2 et V1 = 3
b)Démontrer que la suite (Vn) est strictement croissante, puis en déduire que, pour tout entier naturel n, Vn
1 .
On sait que Vn > 0 et que Un > 0
Si on fait Vn+1 - Vn :
2Un + Vn - Vn > 0
2Un > 0
Et Un > 0 donc Vn+1 > Vn donc la suite est strictement croissante
c)Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a: Unn+1.
Je vais écrire les grandes lignes :
on suppose que Uk k+1
on veut montrer que Uk+1 k+2
On sait que :
Uk+1 = Uk + Vk
or on sait d'après notre hypothèse de reccurence que
Uk k+1
Donc :
Uk k+1
Uk + Vk k+1 + Vk
or, on sait que Vk 1
Donc, Uk+1 k+2
d)En déduire la limite de la suite (Un)
D'après le théorème de comparaison, la limite quand n tend vers +
de Un est +
Pour répondre à la question c, il faut faire une récurrence qui se décompose en trois étapes : l'initialisation, l'hérédité et la conclusion. Ici, tu as fais l'hérédité, reste à faire l'initialisation et la conclusion.
C'est ok pour la d ! 
2)On pose, pour tout entier naturel n:
On admet que
rn^2 = 2 + [(-1)^^n+1 / (Un^2)]
a)Démontrer que pour tout entier naturel n:
-1/Un^2 =< [(-1)^(n+1)]/Un^2=<1/Un^2
j'ai réussi
b)En déduire : lim [(-1)^(n+1)]/Un^2
x->+infinie
Lim [(-1)^(n+1)]/Un^2 = 0
x->+infinie
c)Déterminer la limite de la suite (rn^2) et en déduire que (rn) converge vers 
2.
Lim rn^2 = 2 donc lim rn = 2
x->+infinie x->+infinie
Elle converge donc vers un réel.
d)Démontrer que pour tout entier naturel n,
On sait que
donc
donc
mais après, je suis bloquée, il faudrait que je parte de ce qu'il faut démontrer pour voir si je retombe sur ce résultat.
Tu es sur la bonne piste ! Il te reste maintenant à « forcer » l'apparition en factorisant pour obtenir le résultat
Dernière question :
e) On considère le programme suivant écrit en langage Python :
(voir photo)
(abs désigne la valeur absolue, sqrt la racine carrée et 10**(-4) représente 10^-4)
La valeur de n renvoyée par ce programme est 5.
À quoi correspond-elle ?
Vous êtes bien d'accord, qu'il effectue une boucle. Il faut bien s'arrêter à un moment C'est fait si est inférieur à
.
Que vaut ?
Vous avez aussi un compteur qui note combien de boucles ont été faites.
Que proposez-vous alors ?
Bonjour !
Quelqu'un peut-il détailler la 2a) et 2b) ? J'ai le même DM et j'ai l'impression que mes justifications sont trop résumées/évidentes...
Merci !
Pour la 2a) :
on a :
-1<(-1)^n+1<1
-1/Un^2 < (-1)^n+1/Un^2 < 1/Un^2
Pour la 2b) :
(-1)^n+1 n'est pas une suite monotone et oscille entre -1 et 1.
(Un) est une suite strictement croissante et positive (d'après 1)),
donc lim Un^2 = +infini
n -> +infini
donc lim (-1)^n+1/Un^2 = 0
n -> +infini
pour tout entier naturel n
Pour la 2a, sous réserve d'utiliser 
au lieu de <, ça suffit. C'est effectivement très simple.
Pour la 2b, ce que tu écris est bon. Si tu veux justifier plus avant, un>n+1 donc un2 tend vers +
Par conséquent, (-1)/un2 tend vers 0 en restant négatif et 1/un2 tend vers 0 en restant positif
Tout constitue un encadrement qui répond à la question.
Moi non plus, je ne me suis pas servi de Rn.
C'est peut-être utile plus tard.
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