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suites

Posté par
clemence1
26-10-21 à 20:04

Bonsoir, j'ai besoin d'aide pour cet exercice !

On considère les suites (Un) et (Vn) définies pour tout entier naturel n par :
U0=V0=1
Un+1=Un+Vn
Vn+1=2Un+Vn

Dans toute la suite de l'exercice on admet que les suites (Un) et (Vn) sont strictement positives.

1)a) calculer U1 et V1
U1 = 2 et V1 = 3

b)Démontrer que la suite (Vn) est strictement croissante, puis en déduire que, pour tout entier naturel n, Vn1 .
On sait que Vn > 0 et que Un > 0
Si on fait Vn+1 - Vn :
2Un + Vn - Vn > 0
2Un > 0
Et Un > 0 donc Vn+1 > Vn donc la suite est strictement croissante

c)Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a: Unn+1.

Je vais écrire les grandes lignes :
on suppose que Uk k+1
on veut montrer que Uk+1 k+2

On sait que :
Uk+1 = Uk + Vk
or on sait d'après notre hypothèse de reccurence que
Uk k+1

Donc :
Uk k+1
Uk + Vk k+1 + Vk
or, on sait que Vk 1
Donc, Uk+1 k+2


d)En déduire la limite de la suite (Un)
D'après le théorème de comparaison, la limite quand n tend vers + de Un est +

Posté par Profil Pepper08800re : suites 26-10-21 à 20:23

Bonsoir Clémence,

Quelle est ta question sur cet exercice ?

Posté par
clemence1
re : suites 26-10-21 à 20:43

La 1 c, car je n'arrive pas à justifier par reccurence.

Posté par
clemence1
re : suites 26-10-21 à 20:44

et également vérifier la d, si ma limite est juste

Posté par Profil Pepper08800re : suites 26-10-21 à 20:54

Pour répondre à la question c, il faut faire une récurrence qui se décompose en trois étapes : l'initialisation, l'hérédité et la conclusion. Ici, tu as fais l'hérédité, reste à faire l'initialisation et la conclusion.

C'est ok pour la d !

Posté par
clemence1
re : suites 27-10-21 à 12:52

Merci

Posté par
clemence1
re : suites 27-10-21 à 13:03

2)On pose, pour tout entier naturel n:
rn = \frac{Vn}{Un}

On admet que
rn^2 = 2 + [(-1)^^n+1 / (Un^2)]

a)Démontrer que pour tout entier naturel n:
-1/Un^2 =< [(-1)^(n+1)]/Un^2=<1/Un^2
j'ai réussi


b)En déduire : lim  [(-1)^(n+1)]/Un^2
                         x->+infinie
Lim  [(-1)^(n+1)]/Un^2 = 0
x->+infinie

c)Déterminer la limite de la suite (rn^2) et en déduire que (rn) converge vers 2.
Lim rn^2 = 2 donc lim rn = 2
x->+infinie                 x->+infinie

Elle converge donc vers un réel.

d)Démontrer que pour tout entier naturel n,
rn+1 = \frac{2+rn}{1+rn}

On sait que
rn = \frac{Vn}{Un}
donc
rn+1 = \frac{Vn+1}{Un+1}
donc
rn+1 = \frac{2Un + Vn}{Un + Vn}

mais après, je suis bloquée, il faudrait que je parte de ce qu'il faut démontrer pour voir si je retombe sur ce résultat.

Posté par Profil Pepper08800re : suites 27-10-21 à 13:33

Tu es sur la bonne piste ! Il te reste maintenant à « forcer » l'apparition r_{n} en factorisant pour obtenir le résultat

Posté par
clemence1
re : suites 27-10-21 à 13:35

J'ai justement essayé mais je n'y arrive pas :
rn+ 1 = [(2(Un + Vn/2] / Un + Vn

Posté par Profil Pepper08800re : suites 27-10-21 à 15:02

Et en factorisant par u_{n} ?

Posté par
clemence1
re : suites 29-10-21 à 13:08

ahh ouii

Posté par
clemence1
re : suites 29-10-21 à 13:08

c'est bon, je retrouve bien :
rn+1 = (2 + rn) / (1+rn)

Posté par
clemence1
re : suites 29-10-21 à 13:13

Dernière question :
e) On considère le programme suivant écrit en langage Python :
(voir photo)
(abs désigne la valeur absolue, sqrt la racine carrée et 10**(-4) représente 10^-4)

La valeur de n renvoyée par ce programme est 5.
À quoi correspond-elle ?

Posté par
clemence1
re : suites 29-10-21 à 13:17

suites

* Modération > Image tournée *

Posté par
hekla
re : suites 30-10-21 à 10:41

Bonjour

Quelle est la marque d'arrêt de la boucle ?

Qu'obtenez-vous alors ?

Posté par
clemence1
re : suites 30-10-21 à 12:36

le return

Posté par
clemence1
re : suites 30-10-21 à 12:43

je ne comprends pas à quoi sert ce programme

Posté par
hekla
re : suites 30-10-21 à 12:53

Vous êtes bien d'accord,  qu'il effectue une boucle. Il faut bien s'arrêter à un moment   C'est fait si \vert r-\sqrt{2}\vert est inférieur à 10^{-4}.

Que vaut r_5 ?

Vous avez aussi un compteur n qui note combien de boucles ont été faites.
Que proposez-vous alors ?

Posté par
clemence1
re : suites 30-10-21 à 18:03

r5 = 99/70

Posté par
hekla
re : suites 30-10-21 à 19:33

Certes, mais python ne calcule pas en valeur exacte

99/70 \approx 1,4142857

\sqrt{2}\approx 1,4142136

 \dfrac{99}{70}-\sqrt{2}\approx 0.721519\times 10^{-4}

  n est le plus petit entier tel que \vert r_n-\sqrt{2}\vert \leqslant 10^{-4}

Posté par
clemence1
re : suites 30-10-21 à 21:31

Ah oui d accord merci

Posté par
hekla
re : suites 31-10-21 à 09:13

De rien



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