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Niveau Prepa (autre)
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Suites

Posté par
Samsco
17-12-21 à 08:26

Bonjour j'ai besoin d'aide svp.

Exercice :

Soit (U_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite réelle telle que

\lim_{n\in +\infty}(U_{n+1}-U_n)=\ell\ell \in \mathbb{R}

Montrer que

\lim_{n \to +\infty}\dfrac{U_n}{n}=\ell

Je ne sais pas comment démarrer

Posté par
etniopal
re : Suites 17-12-21 à 09:01

   Pense à  Monsieur  Césaro !

Posté par
LeHibou
re : Suites 17-12-21 à 10:23

Bonjour,

Une piste "intuitive" :

Pour tout n, on a Un = (Un - Un-1) + (Un-1 - Un-2) +...+ (U1 - U0)
Pour tout > 0, à partir d'un certain N, on a - l |Un - Un-1| + l

Posté par
LeHibou
re : Suites 17-12-21 à 10:26

Oups, parti trop vite
L'idée est alors de décomposer la somme Un = ... en deux parties , n < N et n N
Comme l'a suggéré etniopal, c'est la même idée que la preuve de Césaro, mais adaptée à ce cas particulier.

Posté par
Samsco
re : Suites 19-12-21 à 11:39

Bonjour,

D'après le théorème de Cesaro

Si \lim_{n\to +\infty}(U_{n+1}-U_n)=\ell

alors \lim_{n \to +\infty}V_n=\ell

avec

V_n=\dfrac{\sum^{n}_{k=1}(U_{k+1}-U_k)}{n}=\dfrac{U_{n+1}-U_1}{n}

Donc \lim_{n \to +\infty}\dfrac{U_n}{n}=\ell

Posté par
carpediem
re : Suites 19-12-21 à 11:45

salut

certes ... mais je ne vois aucune démonstration de quoi que ce soit ...

Posté par
Samsco
re : Suites 19-12-21 à 11:59

Pourquoi ce ne serait pas une démonstration alors que j'aboutis au résultat demandé ?

Posté par
carpediem
re : Suites 19-12-21 à 13:13

tu invoques un théorème pour affirmer quelque chose ...

et tu ne montres rien pour passer de l'avant dernière ligne à la dernière ...

Posté par
Samsco
re : Suites 19-12-21 à 13:24

C'est comme que je suis passé à la dernière ligne.

\lim V_n=\lim \dfrac{U_{n+1}-U_1}{n}=\lim \dfrac{U_{n+1}}{n}=\lim \dfrac{U_n}{n}=\ell

Posté par
carpediem
re : Suites 19-12-21 à 15:05

ha bon ????

et tu penses que c'est correct ?

Posté par
Samsco
re : Suites 19-12-21 à 18:17

Pourquoi ce n'est pas correct ?

Posté par
carpediem
re : Suites 19-12-21 à 18:36

ben montre-le ...

Posté par
Zrun
re : Suites 19-12-21 à 18:47

carpediem @ 19-12-2021 à 15:05

ha bon ????

et tu penses que c'est correct ?


Bonsoir,

Je me permets de réagir en lisant le sujet . Je ne vois pas ce qui te déranges @carpediem , à part peut être comment passer de n+1 à n , mais dans ce que tu écris j'ai l'impression que tu dis que c'est faux.

Posté par
carpediem
re : Suites 19-12-21 à 19:14

ben oui c'est exactement ça le pb ...

égalité :

1 : ok : voir à 11h39

2 : à justifier

3 : à justifier

et c'est plutôt à écrire ainsi : \ell = \lim V_n=\lim \dfrac{U_{n+1}-U_1}{n}=\lim \dfrac{U_{n+1}}{n}=\lim \dfrac{U_n}{n}

alors par décalage : l'égalité 1 est maintenant le théorème de Césaro ...mais l'invoquer c'est savoir le démontrer !!

Posté par
Zrun
re : Suites 19-12-21 à 20:29

carpediem @ 19-12-2021 à 19:14

ben oui c'est exactement ça le pb ...

alors par décalage : l'égalité 1 est maintenant le théorème de Césaro ...mais l'invoquer c'est savoir le démontrer !!


Ok je vois pour les détails que tu demande !

Posté par
Samsco
re : Suites 21-12-21 à 13:52

carpediem

2:   \ell= \lim \large(\dfrac{U_{n+1}}{n}-\dfrac{U_1}{n})=\lim \dfrac{U_{n+1}}{n}

3: \lim U_{n+1}=\lim U_n

Posté par
carpediem
re : Suites 21-12-21 à 13:59

2 : ok mais pourquoi ?

3 : c'est une évidence mais ne répond pas à la question : on veut voir u_n / n apparaitre !!

Posté par
Samsco
re : Suites 25-12-21 à 12:33

Bonjour

2:  c'est parce que U1/n tend vers 0 .

3: je ne vois pas d'autre explication , si c'est vrai pour U(n+1) alors c'est vrai pour Un .

Posté par
carpediem
re : Suites 27-12-21 à 16:37

\dfrac {u_{n + 1}} n = \dfrac {n+ 1} n \times \dfrac {u_{n + 1}} {n + 1}



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