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suites

Posté par
aya4545
20-02-22 à 10:38

bonjour
merci m aider a faire cette question
\forall n \in  \N^* \quad u_n=\int_{0}^{\pi}{|\sin nt|dt}
1) montrer \forall n \in  \N^*  \quad nu_n=\int_{0}^{n\pi}{|\sin t|dt}
2)montrer que \forall n \in  \N^*  \quad u_n= 2
la premiere question est faisable (chagement de variable nt=u)
pour 2) j ai essayé par recurence et Chasles mais je suis coincée dans l heridité et merci

Posté par
lake
re : suites 20-02-22 à 10:53

Bonjour,

On peut écrire:

   nu_n=\sum_{k=0}^{n-1}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\sin\,t\,\text{d}t

Posté par
lake
re : suites 20-02-22 à 10:57

J'ai oublié la valeur absolue, mais tu auras rectifié ...

Posté par
lake
re : suites 20-02-22 à 11:06

ou si tu préfères :

   nu_n=\sum_{k=0}^{n-1}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}(-1)^k\,\sin\,t\,\text{d}t

Posté par
aya4545
re : suites 20-02-22 à 12:38

bonjour
merci lake  j ai pensé a utiliser chasles mais le probleme qui se presente est le signe de  sint positif sur [2k\pi ;(2k+1)\pi] negatif sur   [(2k+1)\pi ;(2k+2)\pi]

Posté par
aya4545
re : suites 20-02-22 à 12:49

je ne peut pas introduire le signe somme  dans \int puisque les bornes changent

Posté par
aya4545
re : suites 20-02-22 à 12:54

 nu_n=\sum_{k=0}^{n-1}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}(-1)^k\,\sin\,t\,\text{d}t=\sum_{k=0}^{n-1}[-(-1)^{k}cost]_{k\pi}^{(k+1)\pi}

Posté par
aya4545
re : suites 20-02-22 à 12:58

merci lake j ai trouvé le resultat

Posté par
lake
re : suites 20-02-22 à 15:07

De rien aya4545

J'imagine que tu as aboutis à nu_n=2n

Posté par
aya4545
re : suites 20-02-22 à 16:46

effectivement   nu_n=\sum_{k=0}^{n-1}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}(-1)^k\,\sin\,t\,\text{d}t=\sum_{k=0}^{n-1}[-(-1)^{k}cost]_{k\pi}^{(k+1)\pi}=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}cosk\pi=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}(-1)^{k}=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{2k}=\sum_{k=0}^{n-1}1=2n
merci  lake

Posté par
aya4545
re : suites 20-02-22 à 16:49

salut je m excuse
 nu_n=\sum_{k=0}^{n-1}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}(-1)^k\,\sin\,t\,\text{d}t=\sum_{k=0}^{n-1}[-(-1)^{k}cost]_{k\pi}^{(k+1)\pi}=2\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}cosk\pi=2\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}(-1)^{k}=2\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{2k}=2\sum_{k=0}^{n-1}1=2n

Posté par
lake
re : suites 20-02-22 à 17:19

Tu vas un peu vite :

Citation :
 nu_n=\sum_{k=0}^{n-1}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}(-1)^k\,\sin\,t\,\text{d}t=\sum_{k=0}^{n-1}[-(-1)^{k}cost]_{k\pi}^{(k+1)\pi}


est juste mais la suite de va pas.
Bien sûr, on aboutit à 2n

Posté par
lake
re : suites 20-02-22 à 17:21

Mais j'ai peut-être mal compris tes calculs ...

Posté par
aya4545
re : suites 20-02-22 à 18:06



vu que   cos(k+1)\pi=cos(k\pi+\pi)=-cos(k\pi) et cosk\pi=(-1)^k donc

 \\  nu_n=\sum_{k=0}^{n-1}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}(-1)^k\,\sin\,t\,\text{d}t=\sum_{k=0}^{n-1}[-(-1)^{k}cost]_{k\pi}^{(k+1)\pi}=\sum_{k=0}^{n-1}[-(-1)^{k}cos(k+1)\pi+(-1)^{k}cosk\pi]=\\2\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}cosk\pi=2\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}(-1)^{k}=2\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{2k}=2\sum_{k=0}^{n-1}1=2n

Posté par
lake
re : suites 20-02-22 à 23:01

Excuse moi d'avoir douté!



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