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Niveau première
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Suites

Posté par
lou1100
07-03-22 à 17:30

Bonjour, je rencontre des difficultés pour réaliser cet exercice pouvez-vous me venir en aide
Merci d'avance


Sophie veut comparer les prix de deux mutuelles entre un assureur A et un assureur B. Niveau ??
Pour chaque assureur, le prix initial proposé est de 300 e par an en 2019.

Partie A : L'assureur A prévoit une augmentation de 10 euros par an. On note un le prix annuel de la
mutuelle de l'assureur A en 2019 + n.
1) Déterminer la valeur de u0 et u1.
2) Exprimer un+1 en fonction de un. Quelle est la nature de cette suite ?
3) En déduire l'expression de un e fonction de n.
4) Quel sera le prix de la mutuelle en 2030 ?
5) Combien Sophie aura-t-elle payé en 25 ans si elle choisit l'assureur A ?

Partie B : L'assureur B prévoit une augmentation de 2 % par an. On note vn le prix annuel de la mutuelle
de l'assureur B en 2019 + n.
1) Déterminer la valeur de v0 et v1.
2) Exprimer vn+1 en fonction de vn. Quelle est la nature de cette suite ?
3) En déduire l'expression de vn e fonction de n.
4) Quel sera le prix de la mutuelle en 2030 ?
5) Combien Sophie aura-t-elle payé en 25 ans si elle choisit l'assureur B ?

Partie C : En utilisant la calculatrice, déterminer en quelle année le prix de la mutuelle de l'assureur B
devient pour la première fois plus élevé que le prix de la mutuelle de l'assureur A

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites 07-03-22 à 17:47

Bonsoir,
Quelles sont les questions qui te posent problème ?
Dans les questions 1), il s'agit de déterminer les prix annuels des mutuelles l'année 2019 et l'année 2020.

Posté par
lou1100
re : Suites 07-03-22 à 17:57

Bonsoir,
On a donc
1) U0 = 300 et U1 = 310
2) Un + 1 = Un + 10. C'est une suite arithmétique car de type Un + r
3) Un = Uo + nr donc 300 + 10n
4) On trouve U11 car 2030 - 2019 = 11
Donc U11 = 300 + 11 X 10 = 410
5) Je bloque pour cette question

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites 07-03-22 à 18:05

Très bien pour les questions que tu as traitées.

Commence par chercher combien Sophie aura payé les 3 premières années.
C'est un exemple qui peut te permettre de mieux comprendre le sens de la question 5).

Posté par
lou1100
re : Suites 07-03-22 à 18:06

J'ai peut-être une piste
On cherche à savoir combien aura-t-elle payé dans 25 ans
Sachant qu'on nous dit que nous sommes en 2019
Donc on cherche à savoir combien aura-t-elle payé en 2019 + 25 soit le tarif en 2044
On fait 2044 - 2019 =  25
U25 = 300 + 25 X 10 =550
On veut
Un = 300 + 10n > 550

Posté par
lou1100
re : Suites 07-03-22 à 18:09

Peut-être faire la somme des termes
n ( n + 1 ) / 2

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites 07-03-22 à 18:18

Oui, il y a une somme de termes à faire.
Mais il faut que tu comprennes ce que signifie "Combien Sophie aura payé en 25 ans".
On suppose qu'on est en 2019.
Combien paye-t-elle la 1ère année, c'est à dire en 2019 ?
Combien payera-t-elle la 2nde année, c'est à dire en 2020 ?
Combien payera-t-elle la 3ème année, c'est à dire en 2021 ?
Combien aura-t'elle payé en tout pendant les 3 premières années ?

Ce qui est demandé dans 5), c'est combien elle payerait en tout pendant les 25 premières années

Posté par
lou1100
re : Suites 07-03-22 à 18:21

On a donc
En 2019 = 300
En 2020 =310 + 300 = 610
En 2021 =  610 +320 = 930

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites 07-03-22 à 18:32

D'accord.
Ça revient à calculer u0 + u1 + u2 = 300 + 310 + 320.

Essaye de traduire de même en allant jusque la 25ème année.

Posté par
lou1100
re : Suites 07-03-22 à 18:51

J'ai ajouté jusqu'à u25 et je trouve 11 050

Posté par
lou1100
re : Suites 07-03-22 à 18:54

Je me permets de vous expliquer comme j'aurais procédé :
N ( N + 1 ) / 2
N = U25 = 550
550 ( 550 + 1 ) / 2 = 151 525
En 25 ans elle aura payé 151 525

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites 07-03-22 à 19:04

La formule n(n+1)/2 ne peut pas s'utiliser pour n'importe quoi.
Pour 1+2+3+....+n = n(n+1)/2 et pas autre chose.
Ici on calcule 300 + 310 + 320 + ...
Tu as sans doute une formule dans ton cours pour la somme des termes d'une suite arithmétique.
Il faut l'utiliser.

Posté par
lou1100
re : Suites 07-03-22 à 19:17

Peut-être : ( Uo + Un ) ( n + 1 ) /2  ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites 07-03-22 à 19:29

Il te faut perdre cette habitude d'utiliser des formules au hasard.

Cette formule n'est pas écrite dans ton cours isolée de tout contexte.
Elle s'applique pour la somme des termes d'une suite arithmétique où le premier terme est u0, le dernier terme un.
Il y a donc n+1 termes dans la somme qui s'écrit
u0 + u1 + u2 + .... + un.
De u1 à un il y a n termes.
Et comme il y a u0 en plus, ça fait n+1 termes en tout.
Dans A), quel est le 1er terme de la somme ?
Quel est le dernier terme de la somme ?
Quel est le nombre de termes ?

Je ne vais plus être disponible pendant environ une heure.

Posté par
lou1100
re : Suites 07-03-22 à 19:49

Le premier terme de la somme est U0 = 300
Le dernier est U25 = 550
Il y a 26 termes dans cette suite
Mais je ne vois toujours pas la formule
Je me permets de vous remercier pour l'aide apporter sur votre temps

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites 07-03-22 à 20:28

La somme
u0 + u1 + u2 + .... + u25 ne correspond pas à ce qui est payé en 25 ans mais en 26 ans.
Il faut s'arrêter à u24.

Pour la formule, va regarder "4. Somme des n premiers termes" dans Tout ce qui concerne les suites arithmétiques

Posté par
lou1100
re : Suites 07-03-22 à 21:19

J'utilise donc la formule :
n X U0 + Un - 1 / 2
Ce qui me donne
24 X 300 + 540 - 1 / 2 = 10 068

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites 07-03-22 à 21:48

Mets des parenthèses.
C'est quoi ce "-1" derrière 540 alors que n-1 est en indice ?
n = 25 le nombre de termes de la somme.
n-1 = 24 l'indice du dernier terme de la somme.

Utilise le bouton "" sous la zone de saisie pour trouver le symbole "".
n (u0 + un-1)/2
Plus généralement, avec une suite arithmétique :
La somme de termes consécutifs est égale à
nombre de termes (1er terme + dernier terme)/2

Posté par
lou1100
re : Suites 07-03-22 à 21:54

Très bien ,
Je fait donc 24 ( 300 + 540 ) / 2

Posté par
lou1100
re : Suites 07-03-22 à 21:56

Et je trouve 10 080

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites 07-03-22 à 22:30

Citation :
n = 25 le nombre de termes de la somme.

Citation :
Combien Sophie aura-t-elle payé en 25 ans

Dans la somme u1 + u2 + u3 + ... + u24, il y a 24 termes.
Donc dans u0 + u1 + u2 + u3 + ... + u24, il y a 25 termes.

Je ne vais plus être disponible avant après demain.
Mais d'autres aidants pourront te guider si besoin
Bonne nuit.

Posté par
lou1100
re : Suites 08-03-22 à 10:42

Il faut donc faire
25 ( 300 + 540 ) / 2
et je trouve 10 500
Si elle choisi l'assureur A, en 25 ans elle aura payé 10 500€

Posté par
lou1100
re : Suites 08-03-22 à 17:20

Bonsoir,
Serait-t-il possible d'avoir de l'aide pour terminer cet exercice
Je vous remercies d'avance
lou1100

Posté par
philgr22
re : Suites 08-03-22 à 17:58

Bonsoir;
Ton résultat est juste.

Posté par
lou1100
re : Suites 08-03-22 à 19:48

Merci beaucoup !
Pour la partie B
1) v0 = 300
v1 = 306

2) Vn+1 = Vn  q
Vn  1,02 ( car 1 + 2/100 )
C'est une suite géométrique car elle est de type Vn+1 = Vn  q

3) Vn = v0  qn
Vn = 300  1,02n

4) On cherche le prix de la mutuelle en 2030
2030 - 2019 = 11
On veut
V11 = 300  1,0211
V11 = 373
Le prix de la mutuelle en 2030 = 373€

5) Je ne sais pas

Posté par
philgr22
re : Suites 08-03-22 à 21:37

Pour la 5 , somme des termes d'une suite géométrique.

Posté par
lou1100
re : Suites 08-03-22 à 22:07

J'utilise la formule suivante
U0 1 - q^n / 1 - q
300 X 1 - 1,02^25 / 1 - 1,02  
Je trouve 9609, 1
Elle aura payé 9609,1 € en 25 avec l'assureur B

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites 09-03-22 à 08:55

C'est bon, mais il faut t'astreindre à mettre les parenthèses nécessaires pour les fractions écrites en ligne :

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q27 - Comment bien écrire une formule ?

Et apprendre à utiliser les boutons sous la zone de saisie pour écrire exposants et indices.
S = v0 (1 - 1,02n) / (1 - 1,02) = v0 (1,02n - 1) / (1,02 - 1)

En n'oubliant pas d'utiliser le bouton "Aperçu" avant de poster.

Posté par
lou1100
re : Suites 09-03-22 à 17:49

D'accord, je prends note
Merci beaucoup pour votre aide et le temps que vous m'avez accordé
Passez une excellente soirée
lou1100

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites 09-03-22 à 17:53

De rien, et à une autre fois sur l'île \;



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