Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. PremièreForum de première SuitesTopics traitant de suites [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau première
Partager :

Suites

Posté par
LeCarnardFou 02-04-22 à 14:39

* Modération >   *** Bonjour *** *

SUJET Il y a l'image 1 qui va avec tout en bas. (La 2e image est pour la question 6 uniquement)

Citation :
A l?étape 1, on construit un carré de côté 1, d?aire notée A1.
A l?étape 2, on ajoute 2 carrés, de côtés égaux à la moitié d?un côté du carré de l?étape 1.
On note A2 l?aire de chacun de ces 2 carrés.
A l?étape 3, on ajoute 3 carrés, de côtés égaux à la moitié d?un côté du carré de l?étape 2.
On note A3 l?aire de chacun de ces 3 carrés.
Et ainsi de suite aux étapes suivantes.
On note Sn l?aire totale du domaine obtenue à l?étape n.

1. a. Calculer A1, A2, A3.
     b. Quelle est la nature de la suite ? Justifier.
2. Trouver une relation entre Sn+1 et Sn. Justifier.
3. Montrer que \normalsize S_{n+1} = 1 + 2 \times \frac{1}{4} + 3 \times \frac{1}{4^2} + . . . + n \times \frac{1}{4^{n-1}}
4. On pose, pour tout \normalsize x \neq 1, \normalsize f(x) = 1 + x + x^2 + . . . + x^n.
     a. Donner une autre expression de f(x).
     b. Calculer f'(x) et en déduire une formule explicite de Sn en fonction de n.
5. Conjecturez vers quelle valeur semble se rapprocher quand n devient très grand. (pas de preuve demandée)
6. Compléter l?algorithme ci-dessous pour qu?il affiche S1000. L'écrire ensuite en Python.
Image2


J'ai des soucis sur la deuxième partie de la question 4 b. Cependant, je vais aussi vous monter ce que j'ai fait dans les autres questions, s'il y a éventuellement quelque chose qui à été mal faite.

1.  a. \normalsize A_1 = 1 \times 1 = 1 ; \normalsize A_2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} ; \normalsize A_3 = \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}

       b.  (An) est une suite géométrique, car pour passer d'un terme à l'autre, on multiplie par la raison q = \normalsize \frac{1}{4}

2.  Pour obtenir Sn+1 il faut l'aire d'une carrée à l'étape n + 1  et le multiplier par le numéro de l'étape n + 1, soit :
\normalsize S_{n+1} = S_n + (n+1) \times A_{n+1}

3.  \normalsize S_n est l'aire totale obtenue à l'étape n, ou la somme de l'aire totale à chaque étape fois le nombre de l'étape, soit :
\normalsize S_{n+1} = 1 \times A_1 + 2 \times A_2 + 3 \times A_3 + ... + n \times A_{n}
Il faut connaitre la formule explicite de (\normalsize A_n), \normalsize A_n = A_0 \times q. On connait déjà la raison q, on doit alors trouver \normalsize A_0 :
\normalsize A_0 = q^{0-1} \times A_1 \\ = ( \frac{1}{4})^{-1} \times 1 \\ = 4
Alors,
\normalsize A_n = 4 \times  (\frac{1}{4})^n \\ =  \frac{4}{4^n} \\ =  \frac{1}{4^{n-1}}
Donc,
\normalsize S_{n+1} = 1 \times A_1 + 2 \times A_2 + 3 \times A_3 + ... + n \times A_{n} \\ = 1 \times \frac{1}{4^{1-1}} + 2 \times \frac{1}{4^{2-1}} + 3 \times \frac{1}{4^{3-1}} + . . . + n \times \frac{1}{4^{n-1}} \\ = 1 + 2 \times \frac{1}{4} + 3 \times \frac{1}{4^2} + . . . + n \times \frac{1}{4^{n-1}}

4.  a. \normalsize x \neq 1, \normalsize f(x) = 1 + x + x^2 + . . . + x^n
\normalsize f(x) = \frac{1 - x^{n-1}}{1 - x}
      b. f(x) = \normalsize \frac{u(x)}{v(x)} et  \normalsize f'(x) = \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2} avec \normalsize u(x) = 1 - x^{n-1}, \normalsize u'(x) = -(n+1)x^n et  \normalsize v(x) = 1 - x, \normalsize v'(x) = -1
\normalsize f'(x) = \frac{(-(n+1)x^n) \times (1-x) - (1 - x^{n-1}) \times (-1)}{(1-x)^2} \\ = \frac{-nx^n + nx^{n+1} - x^n + 1}{(1-x)^2}

Mais maintenant que j'ai trouvé la dérivée, je ne sais pas que faire pour obtenir la forme explicite de Sn en fonction de n ... J'ai l'impression que je devrais utiliser la dérivée pour la trouver, mais je ne sais pas comment...

Suites

Suites

Posté par
LeCarnardFoure : Suites 02-04-22 à 17:37

up, s'il vous plaît

Posté par
philgr22re : Suites 02-04-22 à 17:50

Bonsoir ,
Donne la deuxieme expression de f'(x) et compare avec Sn+1

Posté par
littleguyre : Suites 02-04-22 à 18:02

Bonjour,

Citation :
\normalsize u(x) = 1 - x^{n-1}, \normalsize u'(x) = -(n+1)x^n
me paraît douteux...

Posté par
LeCarnardFoure : Suites 02-04-22 à 18:16

philgr22
Ah oui ! Il y a cette façon d'exprimer f'(x) :
\normalsize f'(x) = 0 + 1 + 2x + 3x^2 + ... + n \times x^{n-1}
Et si on fait f'(\frac{1}{4}), alors \normalsize S_n = f'(\frac{1}{4})
Mais, cela n'est pas "déduire une formule explicite de Sn en fonction de n", non ?

Posté par
philgr22re : Suites 02-04-22 à 18:19

Oui;j'ai oublié de signaler sa faute de frappe qu'il a faite plusieurs fois d'ailleurs;par contre son resultat est juste.

Posté par
philgr22re : Suites 02-04-22 à 18:22

Que signifie en fonction de n?

Posté par
DIOOVERHEAVENre : Suites 03-04-22 à 19:50

Merci beaucoup j'avais ce même DM pour demain...
PS tu as Mr Romanet?


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !