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Niveau Reprise d'études-Ter
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Suites

Posté par
Caprice
28-11-22 à 16:07

Bonjour à tous,j'ai un soucis sur cet exercice j'avoue que j'y arrive pas. 
L'ennoncé se présente comme suit: 

1)Démontrer que la somme
S=1+3+5+...+99 est le carré d'un entier naturel.
2)Calculer en fonction de n,la somme des n premiers naturels impairs
S'=1+3+5+....(2n-1)

Posté par
hekla
re : Suites 28-11-22 à 16:13

Bonjour

Comment calcule-t-on la somme des termes d'une suite arithmétique ?

Posté par
Caprice
re : Suites 28-11-22 à 16:23

S=1er terme×(1-q.exposant n)/1-q

Posté par
hekla
re : Suites 28-11-22 à 16:26

Non, cela, c'est pour une suite géométrique. Là, elle est arithmétique.

Posté par
Caprice
re : Suites 28-11-22 à 16:36

Désolé!

S=N×(1er terme+dernier terme)/2

Posté par
hekla
re : Suites 28-11-22 à 16:40

Bien
combien de termes ?  On connaît déjà le premier et le dernier.

Posté par
Caprice
re : Suites 28-11-22 à 16:50

N=indice du premier terme -indice du dernier +1)

99-1+1=99
Je crois!!

Posté par
Caprice
re : Suites 28-11-22 à 16:53

Indice du dernier terme - premier terme +1 au temps pour moi ! Mais j'ai pas aussi d'indice ici

Posté par
hekla
re : Suites 28-11-22 à 17:01

On va considérer que  1,3, 5, \dots sont les termes consécutifs d'une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 2

on pose u_0=1 \quad  u_n=u_0+2n

On résout 99=1+2n  d'où n=

le nombre de termes est donc

malou edit > ** j'ai enlevé un r en trop **

Posté par
Caprice
re : Suites 28-11-22 à 17:07

Vous avez enlèvé un r de trop à quel niveau?

Posté par
Caprice
re : Suites 28-11-22 à 17:09

Je trouve n=49

Posté par
hekla
re : Suites 28-11-22 à 17:10

J'avais sans doute écrit 2nr,  alors que j'avais déjà donné la valeur de r.

malou edit > ** oui c'est ça **

Posté par
hekla
re : Suites 28-11-22 à 17:11

Oui donc combien de termes de 0 à 49 ?

Posté par
Caprice
re : Suites 28-11-22 à 17:12

Ah d'accord alors je trouve n=49

Posté par
Caprice
re : Suites 28-11-22 à 17:15

49 termes

Posté par
hekla
re : Suites 28-11-22 à 17:23

De 0 à 49 il y a 50 termes  Vous aviez pourtant écrit

N=indice du premier terme - indice du dernier +1)

c'est plutôt

N=indice du dernier  terme -indice du premier  +1)

N=49-0+1=50

Posté par
Caprice
re : Suites 28-11-22 à 17:28

Ah je vois mais j'ai une question pourquoi est ce qu'on a plus considéré le 99 comme dernier terme et 1 comme le premier derme telque l'énnoncé le présentait?

Posté par
hekla
re : Suites 28-11-22 à 17:34

Parce que ce qui importait étaient les indices, pas les valeurs des termes.

Posté par
Caprice
re : Suites 28-11-22 à 17:39

Ah je comprend!
Alors s=50+(1+99)/2
S=50+100/2
S=50+50
S=100

Posté par
hekla
re : Suites 28-11-22 à 17:49

Avez-vous appliqué ceci ?

S=N×(1er terme+dernier terme)/2

Non, car \times s'est transformé en +.

Posté par
Caprice
re : Suites 28-11-22 à 17:54

Après J'ai utilisé la formule  S=N×(1er terme + dernier terme)/2          ;X s'est transformé en + comment? Je ne comprend plus!

Posté par
hekla
re : Suites 28-11-22 à 18:06

Vous avez bien calculé 50+50 (=100) et non 50\times 50(=2500)

Posté par
hekla
re : Suites 28-11-22 à 18:07

Je n'ai pas dit que c'était la réponse.

Posté par
Caprice
re : Suites 28-11-22 à 18:12

S=50×50=2500 ah oui c'est vrai j'avais commis une faute en fesant 50+50
Alors 2500 est le carré d'un entier naturel  comme disait l'ennoncé?

Posté par
hekla
re : Suites 28-11-22 à 18:26

S=\dfrac{50\times (1+99)}{2}=2500

C'est bien 50\times 50 . C'est donc bien un carré.

Question 2

Posté par
Caprice
re : Suites 28-11-22 à 18:33

Avec la question  2 je ne sais pas comment procéder

Posté par
hekla
re : Suites 28-11-22 à 18:43

De la même manière, la question 1 était un apéritif.

Posté par
Caprice
re : Suites 28-11-22 à 18:47

D'accord je le fais de suite pour voir

Posté par
Caprice
re : Suites 28-11-22 à 18:54

S'=1+3+5+...+(2n-1)
S'=N×(1erterme+dernier terme)/2
Posons Uo=1,un=Uo+2n
Pour trouver le nombre de termes il faut que je resolve :
(2n-1)=1+2n?
Si oui pas moyen de trouver le n là avec cette équation

Posté par
hekla
re : Suites 28-11-22 à 18:58

Il ne fallait pas prendre le même nom

On appelle N l'indice de la suite pour lequel  u_N=2n-1

On a donc 2n-1=1+2N d'où

Posté par
Caprice
re : Suites 28-11-22 à 19:04

2N=2n-2
N=(2n-2)/2
N=2(n-1)/2
N=n-1

Posté par
hekla
re : Suites 28-11-22 à 19:12

Oui
nombre de termes

Somme

Posté par
Caprice
re : Suites 28-11-22 à 19:19

S'=(n-1)×[1+(2n-1)]/2
S'=(n-1)×[2n]/2
S'=(n-1)×n
S'=n(carré)-n

Posté par
hekla
re : Suites 28-11-22 à 19:22

Vous avez fait la même erreur qu'à la question 1

N=indice du dernier terme -indice du premier  +1

Posté par
Caprice
re : Suites 28-11-22 à 19:31

Alors N=n-1-1+1
N=n-2+1
N=n-1

Posté par
hekla
re : Suites 28-11-22 à 19:35

Non, on a considéré que le premier terme était u_0  et non u_1

Posté par
Caprice
re : Suites 28-11-22 à 19:38

Ah oui
N=n-1-0+1
N=n

Posté par
hekla
re : Suites 28-11-22 à 19:44

Vous auriez pu aller jusqu'au bout. On obtient bien un carré.

Posté par
Caprice
re : Suites 28-11-22 à 19:50

S=n×[1+(2n-1)]/2
S=n×[1+2n-1]/2
S=n×2n/2
S=n(au carré)

Posté par
hekla
re : Suites 28-11-22 à 19:53

Oui

Pour noter un carré ^ (altGr9)  ou les touches sous la feuille de réponses

Posté par
Caprice
re : Suites 28-11-22 à 19:58

Ah je vois!
Alors les n premiers Natutels impairs en question sont 1+3+5....+(2n-1)
Et S'=n(au carré )
C'est la réponse?

Posté par
hekla
re : Suites 28-11-22 à 20:11

Si vous prenez les 3 premiers 1+3+5=9=3^2

L'exercice vous faisait découvrir que la somme des n premiers impairs valait n^2 et d'une manière géométrique

Suites

Posté par
Caprice
re : Suites 28-11-22 à 20:17

Ah je comprend!!!
J'ai un autre qui me fait tourner les méninges aussi!
Je fais un nouveau message

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites 29-11-22 à 08:24

Bonjour,
Je me permets d'indiquer une méthode plus "terre à terre" pour compter le nombre de termes dans certaines circonstances.
Pour compter des mouton, je compte 1,2,3 .... .
Si je termine à 50, c'est qu'il y a 50 moutons.

1) 99 = 250 - 1
S = 1+3+5+...+99 = (21 - 1) + 22 - 1) + (23 - 1) + ... + (250 - 1)
Il y a donc 50 termes.

2) S' = 1+3+5+...+(2n-1) = (21 - 1) + 22 - 1) + (23 - 1) + ... + (2n - 1)
Il y a dons n termes.

Si on a les termes un d'une suite quelconque qui commence à u0, on peut compter ainsi le nombre de termes :
Pour u1, u2, ..., u49 il y a 49 termes.
Si on rajoute u0 au début il y aura 1+49 termes.
De même, pour u1, u2, ..., un-1, il y a n-1 termes.
Donc n termes si on rajoute u0 au début.

Posté par
Pirho
re : Suites 29-11-22 à 11:08

Bonjour,

je pense que, sans rien connaître aux suites, on peut trouver  le nombre de termes(N) , par exemple, si l'on a :

1,7,13,19,25...61

N=\dfrac{61-1}{7-6}+1 =11

Posté par
hekla
re : Suites 29-11-22 à 11:17

BonjourPirho

Il me semble qu'il y a une erreur de frappe  

61-1=60,\quad7-6=1, \quad \dfrac{60}{1}=60,\quad 60+1=61

Posté par
Pirho
re : Suites 29-11-22 à 11:21

Bonjour et merci  hekla

N=\dfrac{61-1}{7-1}+1 =11



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