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suites

Posté par
louis222 21-02-23 à 15:03

* Modération >   *** Bonjour *** *

Soit la suite (un) appartenant à N définie u0 = 1et, quel que soit n appartient à N, un+1 = (3un+1)/(2un+4)

Soit la suite (Tn) définie pour tout entier n par Tn = (2Un-1)/(Un+1)

a. Montrer que pour tout entier naturel, Tn+1 = (2)/(5)Tn
    Quelle est la nature de la suite (Tn) ? Préciser son premier terme t0. (Je l'ai fait =
t0 = (1)/(2)
t1 = (1)/(5)
t2= (2)/(25)

(t1)/(t0) = (2)/(5) ; (t2)/(t1) = (2)/(5) donc la suite est géométrique de raison q = (2)/(5) et de premier terme t0=(1)/(2)

b. Exprimer (tn) en fonction de n. ( tn = t0*q^n = (1)/(2)*((2)/(5))^n )

c. Exprimer un en fonction de tn et en déduire que, pour tout entier naturel n, un = (2+((2)/(5))^n)/(4-((2)/(5))^n). C'est là où je suis bloqué.

d. Déterminer la limite de la suite (un).

Posté par
carpediemre : suites 21-02-23 à 15:20

salut

que viennent faire ces parenthèses autour des nombres ?

et si on veut mettre des parenthèses et voire même elles sont nécessaires c'est par exemple :

u(n + 1) = ...

T(n + 1) = (2/5)T(n) ou "à la limite" T(n + 1) = (2/5)Tn

ensuite des T ... qui deviennent des t ?

ce n'est pas parce que tu le montres pour les trois premiers termes que c'est vrai pour tous les termes

si Tn = (2Un - 1)/(Un + 1) alors T(n + 1) = ...

à exprimer en fonction de u(n + 1) puis remplacer u(n + 1) par son expression en fonction de u_n et simplifier

Posté par
heklare : suites 21-02-23 à 15:22

Bonjour

Donner quelques valeurs n'est pas suffisant

on vous demande de montrer que T_{n+1}=\dfrac{2}{5}T_n

Il faut donc utiliser la définition de T_n

Posté par
louis222re : suites 21-02-23 à 15:24

carpediem @ 21-02-2023 à 15:20

salut

que viennent faire ces parenthèses autour des nombres ?

et si on veut mettre des parenthèses et voire même elles sont nécessaires c'est par exemple :



C'est pour montrer que ce sont des fractions.

Posté par
louis222re : suites 21-02-23 à 15:35

hekla @ 21-02-2023 à 15:22

Bonjour

Donner quelques valeurs n'est pas suffisant

on vous demande de montrer que T_{n+1}=\dfrac{2}{5}T_n

Il faut donc utiliser la définition de T_n


J'arrive pas à montrer. Il faut remplacer pat tn par quelque chose ?

Posté par
heklare : suites 21-02-23 à 15:41

Oui, par les données de l'énoncé

T_{n+1}=\dfrac{2u_{n+1}-1}{u_{n+1}+1}

si c'est comme cela  qu'est définie T_n

on remplace alors u_{n+1} par sa valeur et on calcule.

Posté par
louis222re : suites 21-02-23 à 15:50

Tn+1=(2un+1-1)/(Un+1)

           =( 2*(3un+1)/(2un+4)-1)/((3un+1)/(2un+4)+1)

ça fait = (4un-2)/(5un+5)

Est ce correct ?

Posté par
heklare : suites 21-02-23 à 16:09

Non,  Pourquoi le dénominateur est-il u_n+1 ?

j'avais écrit u_{n+1}+1 soit \dfrac{3u_n+1}{2u_n+4}+1=\dfrac{5u_n+5}{2u_n+4}

Posté par
louis222re : suites 21-02-23 à 16:22

hekla @ 21-02-2023 à 16:09

Non,  Pourquoi le dénominateur est-il u_n+1 ?

j'avais écrit u_{n+1}+1 soit \dfrac{3u_n+1}{2u_n+4}+1=\dfrac{5u_n+5}{2u_n+4}


Je ne trouve pas...

Posté par
heklare : suites 21-02-23 à 16:41

Numérateur u_{n+1}-1=2\times\dfrac{3u_n+1}{2u_n+4}-1=\dfrac{4u_n-2}{2u_n+4}

Que vaut alors la fraction  ?

Posté par
louis222re : suites 21-02-23 à 16:54

c'est-à-dire ? cela fait (4un-2)/(5un+5)

Posté par
heklare : suites 21-02-23 à 17:04

Oui, mais à transformer pour obtenir \dfrac{2}{5}T_n

Posté par
louis222re : suites 21-02-23 à 17:16

Je n'arrive pas à trouver. J'ai essayé de remplacer un par u0, etc...

Posté par
heklare : suites 21-02-23 à 17:20

Il n'y a rien à remplacer

T_{n+1}=\dfrac{2(2u_n-1)}{5(u_n+1}=\dfrac{2}{5}\times \dfrac{2u_n-1}{u_n+1}=

Que reconnaît-on ?

Posté par
louis222re : suites 21-02-23 à 17:22

Ah il fallait factoriser. On reconnait le premier fraction qui correspond à tn

Posté par
louis222re : suites 21-02-23 à 17:24

louis222 @ 21-02-2023 à 17:22

Ah il fallait factoriser. On reconnait le premier fraction qui correspond à tn


et de plus on reconnait le deuxième fraction qui correspond à tn
louis222 @ 21-02-2023 à 17:22

Ah il fallait factoriser. On reconnait le premier fraction qui correspond à tn


je voulais dire le deuxième

Posté par
heklare : suites 21-02-23 à 17:35

On a donc bien montré que T_{n+1}=\dfrac{2}{5}T_n

Posté par
louis222re : suites 21-02-23 à 17:44

oui, il fallait tout simplement factoriser.... Merci !

les réponses que j'ai écrites sont bonnes ( question a et b) , je suppose ?

Je suis bloqué sur la question c)... J'ai écrit tn = un... après je ne sais pas

Posté par
heklare : suites 21-02-23 à 18:04

On reprend

question 1 a)

T_{n+1}=\dfrac{2u_{n+1}-1}{u_{n+1}+1}=\dfrac{2\times\dfrac{3u_n+1}{2u_n+4}-1}{ \dfrac{3u_n+1}{2u_n+4}+1 }=\dfrac{\dfrac{4u_n-2}{2u_n+4}}{\dfrac{5u_n+5}{2u_n+4}}=\dfrac{2(2u_n-1)}{5(u_n+1}=\dfrac{2}{5}\times \dfrac{2u_n-1}{u_n+1}=\dfrac{2}{5}T_n

suite géométrique de raison \dfrac{2}{5}
calcul du premier terme  T_0=\dfrac{2u_0-1}{u_0+1}=\dfrac{1}{2}

b terme général T_n=\dfrac{1}{2}\times \left(\dfrac{2}{5}\right)^n

c)  T_n = \dfrac{2u_n-1}{u_n+1} à considérer comme une équation en u_n  et la résoudre

Posté par
louis222re : suites 21-02-23 à 18:15

je pense que :

Tn = \frac{2Un-1}{Un+1}=0

Valeur interdite = Un + 1 = 0 \Leftrightarrow Un = - 1 \neq 0
2Un-1=0\Leftrightarrow 2Un=1\Leftrightarrow Un=\frac{1}{2}

Donc : Un = \frac{1}{2}

Posté par
carpediemre : suites 21-02-23 à 18:15

carpediem @ 21-02-2023 à 15:20

ce n'est pas parce que tu le montres pour les trois premiers termes que c'est vrai pour tous les termes

si Tn = (2Un - 1)/(Un + 1) alors T(n + 1) = ...

à exprimer en fonction de u(n + 1) puis remplacer u(n + 1) par son expression en fonction de u_n et simplifier
donc appliquons simplement ce qui est dit :

t_n = \dfrac {2u_n - 1}{u_n + 1} donc au rang n + 1      t_{n + 1} = \dfrac {2u_{n + 1} - 1} {u_{n + 1} + 1}    \red (*)

or u_{n + 1} = \dfrac {3u_n + 1} {2u_n + 4}

donc je remplace cette expression de u(n + 1} en fonction de u_n dans (*)

et après des calculs de niveau collège (réduction de somme avec des fractions) on obtient t_{n + 1}= \dfrac 2 5 t_n



dommage que hekla ait fait tout le travail pour toi ...
il faut absolument t'entrainer et apprendre à calculer par toi-même !!


louis222 @ 21-02-2023 à 15:24

C'est pour montrer que ce sont des fractions.
est-ce ce qu'on t'a appris au collège ?  


si t_n = \dfrac {2u_n - 1}{u_n + 1}  peux-tu commencer par exprimer u_n en fonction de t_n

aide : si y = \dfrac {2x - 1}{x + 1}  peux-tu exprimer x en fonction de y ?

Posté par
louis222re : suites 21-02-23 à 18:20

carpediem @ 21-02-2023 à 18:15


louis222 @ 21-02-2023 à 15:24

C'est pour montrer que ce sont des fractions.
est-ce ce qu'on t'a appris au collège ?  


Ah non, ici Ile de maths, il faut ajouter des parenthèses pour montrer que ce sont des fractions. C'est la règle

Posté par
louis222re : suites 21-02-23 à 18:24

carpediem @ 21-02-2023 à 18:15


dommage que hekla ait fait tout le travail pour toi ...
il faut absolument t'entrainer et apprendre à calculer par toi-même !!


Ah si j'ai fait des calculs moi-même. C'est juste j'ai pas pensé à factoriser...

Posté par
louis222re : suites 21-02-23 à 18:27

carpediem @ 21-02-2023 à 18:15


si t_n = \dfrac {2u_n - 1}{u_n + 1}  peux-tu commencer par exprimer u_n en fonction de t_n
aide : si y = \dfrac {2x - 1}{x + 1}  peux-tu exprimer x en fonction de y ?


Il faut remplacer un par u0 ?

Posté par
louis222re : suites 21-02-23 à 18:28

louis222 @ 21-02-2023 à 18:15

je pense que :

Tn = \frac{2Un-1}{Un+1}=0

Valeur interdite = Un + 1 = 0 \Leftrightarrow Un = - 1 \neq 0
2Un-1=0\Leftrightarrow 2Un=1\Leftrightarrow Un=\frac{1}{2}

Donc : Un = \frac{1}{2}


À l'aide de Hekla, j'ai fait ça. Est ce que c'est correct ?

Posté par
heklare : suites 21-02-23 à 18:32

Non


commencez par calculer x dans K=\dfrac{2x-1}{x+1} \\

Non, louis222 a fait les calculs, j'ai juste réécrit en utilisant LaTeX

Posté par
louis222re : suites 21-02-23 à 18:43

hekla @ 21-02-2023 à 18:32

Non


commencez par calculer x dans K=\dfrac{2x-1}{x+1} \\

Non, louis222 a fait les calculs, j'ai juste réécrit en utilisant LaTeX


\frac{2x-1}{x+1}\Leftrightarrow 2x-1= 0 \Leftrightarrow 2x=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{2} et
x+1=0\Rightarrow x=-1

Posté par
heklare : suites 21-02-23 à 18:51

Pourquoi prenez-vous K=0 ?

2x-1= K(x+1) que vaut alors x ?

Posté par
carpediemre : suites 21-02-23 à 18:51

louis222 @ 21-02-2023 à 18:20

Ah non, ici Ile de maths, il faut ajouter des parenthèses pour montrer que ce sont des fractions. C'est la règle
pas du tout

la fraction \dfrac 2 5 s'écrit en ligne 2/5

la fraction \dfrac {2 + x} 5 s'écrit en ligne (2 + x)/5

et les parenthèses sont nécessaires et obligatoire pour montrer que le numérateur est 2 + x

et à distinguer de 2 + \dfrac x 5 qui s'écrit en ligne 2 + x/5

et il n'y a pas besoin de parenthèses


ton dernier calcul est tout faux :

multiplie les deux membres de l'égalité y = \dfrac {2x - 1}{x + 1} par x + 1

Posté par
louis222re : suites 21-02-23 à 19:14

hekla @ 21-02-2023 à 18:51

Pourquoi prenez-vous K=0 ?

2x-1= K(x+1) que vaut alors x ?


2x-1=k(x+1)\Leftrightarrow 2x-1=kx+k\Leftrightarrow 2x-kx=k+1\Leftrightarrow (2-k)x=k+1\Leftrightarrow k=\frac{k+1}{2-k}

Posté par
louis222re : suites 21-02-23 à 19:47

Je crois comprendre :

Tn=\frac{2Un-1}{Un+1}\Leftrightarrow Tn(Un+1)=2Un-1\Leftrightarrow TnUn+Tn=2Un-1\Leftrightarrow TnUn-2Un=-1-Tn\Leftrightarrow Un(-2+Tn)=-1_Tn\Leftrightarrow Un=\frac{-1-Tn}{-2+Tn}

Posté par
carpediemre : suites 21-02-23 à 19:56

oui c'est cela !

maintenant tu peux remplacer T_n par son expression en fonction de n trouvée (question b/) ...

Posté par
louis222re : suites 21-02-23 à 20:09

carpediem @ 21-02-2023 à 19:56

oui c'est cela !

maintenant tu peux remplacer T_n par son expression en fonction de n trouvée (question b/) ...


Un=\frac{1-\frac{1}{2}*\left(\frac{2}{5} \right)^n}{-2+\frac{1}{2}*\left(\frac{2}{5}^ \right)^n}

Posté par
louis222re : suites 21-02-23 à 20:12

louis222 @ 21-02-2023 à 20:09

carpediem @ 21-02-2023 à 19:56

oui c'est cela !

maintenant tu peux remplacer T_n par son expression en fonction de n trouvée (question b/) ...


Un=\frac{1-\frac{1}{2}*\left(\frac{2}{5} \right)^n}{-2+\frac{1}{2}*\left(\frac{2}{5}^ \right)^n}


J'ai oublié d'ajouter - devant "1" dans le numérateur

Posté par
carpediemre : suites 21-02-23 à 20:23

inutile de citer les msg précédents !!!

ça rallonge inutilement la page et oblige à scroller jusqu'au dernier msg ...

on peut simplifier (un peu) cette expression et la rendre plus agréable à lire

Posté par
louis222re : suites 21-02-23 à 20:33

Je ne sais pas mais j'ai du mal à simplifier...

-1-((2/5)^n)/-2=((2/5)^n)

Posté par
carpediemre : suites 21-02-23 à 20:37

u_n = \dfrac {2 + \left( \dfrac 2 5 \right)^n} {4 - \left( \dfrac 2 5 \right)^n}

Posté par
louis222re : suites 21-02-23 à 20:39

C'est la réponse mais je ne trouve pas...

Posté par
carpediemre : suites 21-02-23 à 20:47

tu ne vois pas le passage évident de u_n = \dfrac{-1-\dfrac{1}{2}*\left(\dfrac{2}{5} \right)^n}{-2+\dfrac{1}{2}*\left(\dfrac{2}{5}^ \right)^n}  à  u_n = \dfrac {2 + \left( \dfrac 2 5 \right)^n} {4 - \left( \dfrac 2 5 \right)^n}

(aide : opération élémentaire sur les fractions apprise au collège)

Posté par
louis222re : suites 21-02-23 à 20:58

je multiplie : 1/2 * (2/5)^n

un = -1-((2/5)^n)/-2+((2/5))^n

Après je ne sais pas...

Posté par
heklare : suites 21-02-23 à 21:33

Déjà, on peut remarquer qu'au numérateur, on n'avait que des - et à la fin les deux termes sont +

une petite multiplication par -1 numérateur et dénominateur

ensuite une petite réduction au même dénominateur en posant X=\left(\dfrac{2}{5}\right)^n

on a \dfrac{-1-\dfrac{1}{2}X}{-2+\dfrac{1}{2}X}  à transformer

Posté par
louis222re : suites 21-02-23 à 21:53

\frac{\frac{-2-x}{2}}{\frac{-4+x}{2}}\Leftrightarrow \frac{-2-x}{-4+x}

Posté par
louis222re : suites 21-02-23 à 21:58

donc -2-((2/5)^n)/-4+((2/5)^n)

C'est presque

Posté par
heklare : suites 21-02-23 à 22:12

On arrive à \dfrac{-2-\left(\dfrac{2}{5}\right)^n}{-4+\left(\dfrac{2}{5}\right)^n}

Et si on décidait de changer tous les signes, mettre -1 en facteur au numérateur et au dénominateur et de simplifier

Posté par
louis222re : suites 21-02-23 à 22:21

C'est à dire que mettre -1 en facteur va changer les signes. Donc je mets -1 juste devant -2 dans le numérateur et idem pour le dénominateur

Posté par
heklare : suites 21-02-23 à 22:30

Une factorisation par -1  on peut écrire -a-b=-(a+b)

Posté par
louis222re : suites 21-02-23 à 22:41

C'est à dire

-(2-(2/5)^n)/-(4+(2/5)^n)

Posté par
heklare : suites 21-02-23 à 22:49

Non  je vous ai écrit  

-a-b=-(a+b) et non = -(a-b) car en développant, on aurait  -a +b et non ce que l'on avait au départ

Posté par
carpediemre : suites 21-02-23 à 22:50

rappel de collège : pour tout réel k non nul  : \dfrac a b = \dfrac {ka} {kb}

Posté par
louis222re : suites 22-02-23 à 08:48

\frac{-1(-2-(\frac{2}{5})^n)}{-1(4+(\frac{2}{5})^n)}=\frac{2+(\frac{2}{5})^n}{-4-(\frac{2}{5})^n}. Je trouve pas

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