Niveau terminale

suites

Posté par
med1957 03-11-23 à 13:42

bonjour
merci pour votre aide
je trouve des difficultés pour terminer cet exercice

soit f definie par : $f(x)=1+\dfrac{x}{\sqrt {x^2+4}}$

1) determiner $D_f$ et calculer $\lim _{|x|\to +\infty}f(x)$
2)  mq f est derivable sur $D_f$ et que $\forall x \in D_f \hspace{1cm } f'(x)=\frac{4}{\sqrt{x^2+4}^3}$
3) mq $\forall x \in \R \hspace{1cm } f'(x)\leq \frac{1}{2}$
4) montrez que $f$ est une bijection de $\R$ vers un intervalle J que l on determinera
5) montrer que l equation $f(x)=x$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\R$ et que $0<\alpha < 2$
6)  etudier le signe de $f(x)-x$ sur $\R$ puis déduire celui de $f^{-1}(x)-x$ sur J
7) mq $\forall x \in J\hspace {1cm} f^{-1}(x)=\frac{2(x-1)}{\sqrt{x(2-x)}}$
8)montrez que pour tout n de $\N^*$ l equation $f^{-1}(x)=n$ admet une unique solution $a_n$ dans J  et que $1<a_n<2$
9) mq la suite $(a_n)$ est décroissante
10) mq $\forall   n \in \N^*    0<2-a_n<4/n^2$

en deduire que la suite $(a_n)$ est convergente et determiner sa limite
11)on definie  la suite par : $(u_n)$ $u_{n+1}=f(u_n)$ et $u_0=3/2$
12)montrer que pour  tout entier naturel n $1<u_n<2$
determiner $\lim a_n$ et $\lim n²(2-a_n)$
13)montrer que pour  tout entier naturel n $1<|u_{n+1}-\alpha|<1/2|u_n-\alpha|$
14) on pose $S_n=\sum_1^n \frac{k}{n^2}f(\alpha +\frac{k}{n^2})$
montrez que   $\frac 1 2(1+\frac 1n)f(\alpha +\frac{1}{n^2}<S_n< \frac 1 2(1+\frac 1n)f(\alpha +\frac{1}{n}$ et determiner $\lim S_n$

1)     $D_f =\R \limf$ en +infini 2 et 0en -infini
2) 3) facile
4)f continue comme rapport de 2 fonctions continues et strictement croissante donc realise une bijection de R vers $J]0;2[$
5)on utilise le th de bijection g(x)=f(x)-x

ce que je n ai pas pu faire
je trouve des difficultées dans 10) j ai essayé avec une recurence mais  dans 12) dans le calcul de $\lim n²(2-a_n)$ et 13 le reste je peux le faire

Posté par re : suites 03-11-23 à 23:00

Bonsoir,

Il faut donc que tu montres que f(n)-2<4/n² soit encore f(n)<2+4/n²...

_{***Le site a détecté un multicompte***Situation à régulariser***cf Q29 de la FAQ : [lien]}

Posté par re : suites 05-11-23 à 14:29

bonsoir
merci Shipz

$f(n)-2<4/n²\Leftrightarrow(1-\frac{16}{n^4})(1-\frac{4}{n^2})<1$
ce qui donne le resultat

autrement

$f^{-1}(a_n)=n \Leftrightarrow \dfrac{2(a_n-1)}{\sqrt{a_n(2-a_n)}}=n$
$\Leftrightarrow \dfrac{n^2}{4}=\dfrac{(a_n-1)^2}{a_n(2-a_n)}$
$\Leftrightarrow \dfrac{4}{n^2}=(2-a_n) \times\dfrac{a_n}{(a_n-1)^2}$
il suffit de verifier que $\dfrac{a_n}{(a_n-1)^2}>1$
ce qui est facile a faire

Posté par re : suites 05-11-23 à 18:33

bonsoir
je vous le jure je n avais jamais eu un compte dans ce site je feuilletais ses pages mais c est la premiere fois que je possede un compte
cordialement med ababou

Posté par re : suites 05-11-23 à 18:48

Bonsoir med1957,
Rassure toi, tu n'es pas concerné
C'est Shipz qui a un multicompte.

Posté par re : suites 05-11-23 à 22:00

bonsoir
merci Sylvieg

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

Suites en terminale
8 fiches de mathématiques sur "Suites" en terminale disponibles.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

suites

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths