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Niveau terminale
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suites

Posté par simra (invité) 22-03-04 à 15:30

Bonjour j'ai 2 exercices de suites à résoudre et je ne comprend
pacomment faire:

1)Comment doit-on choisir les trois côtés d'un triangle rectangle pour
que les longueurs de ces trois côtés soient 3 termes consécutifs
d'une suite géométrique?

2°)Le premier terme d'une suite arithmétique croissante est 12;le
produit des trois premiers termes est 3240.
  a)déterminer la raison et le 5e terme de cette suite .
  b)Quel est le + petit entier p tel que Up soit supérieur à 100?

mERCI DE ME REPONDRE !!

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : suites 22-03-04 à 15:42

1)
Soit q la raison > 1 de la suite géométrique et a le plus petit coté.

Un coté de l'angle droit est: a
Le second coté de l'angle droit est: aq
l'hypothénuse est: aq²

et on doit avoir par Pythagore:

a² + (aq)² = (aq²)²
a² + a²q² = a²q^4
q^4 -  q² - 1 = 0

poser q² = x
x² - x - 1 = 0
x = [1 +/- V(1+4)]/2   avec V pour racine carrée.
q² = [1 +/- V(5)]/2
seule la valeur > 0 convient
q = V[(1 + V5)/2]

La raison de suite géométrique doit être: q = V[(1 + V5)/2]

Les 3 cotés du triangle sont:
a
et a.V[(1 + V5)/2]
et a.[(1 + V5)/2]
avec a un réel quelconque.
-----
Sauf distraction.    

Posté par Guillaume (invité)re : suites 22-03-04 à 15:47

1)
soit x un des cotés (pas l'hypothenuse)
le coté suivant vaut (j'appelle q la raison de la suite): xq
enfin le dernier coté (l'hypothenuse) vaut xq²

si le triangle est rectangle on a pythagore:
(xq²)²=(xq)²+(x)²
ca fait
q^4-q²-1=0
je pose Q=q²
Q²-Q-1=0
delta=1+4=5
Q1=(1+rac(5))/2
Q2=(1-rac(5))/2

on revient à q:
q²=Q2 impossible car Q2 est negatif
q²=Q1=(1+rac(5))/2
donc la solution (on garde que la positive car on travaille sur des longueurs)
q1=rac((1+rac(5))/2)

culture générale: (1+rac(5)) /2 c'est le nombre d'or!

PS:pour etre precis il faut faire attention: si q<1 le plus grand coté l(hypothenuse)

n'est pas xq² mais x, pythagore donne alors x²=(xq)²+(xq²)²
soit q^4+q²-1=0
mais on arrive on meme resultat (la proportion entre les cotés est la
meme, soit tu part du plus grand pour en deduire
les plus petits, soit l'inverse...

2)U0=12
soit r la raison:
U1=Uo+r=12+r
U2=U1+r=12+2r
on sait que 3240=U0U1U2=12(12+r)(12+2r)
3240=12(124+12r+24r+2r²)
2r²+36r+124=270
r²+18r+62=135
tu resout,
tu garde le r positif (car suite croissante)

on a alors U4=12+4r (attention le 5ème terme c'est U4 car on part
de U0) facile

Up>=100
12+rp>=100
rp>=100/12
p>=100/12r (tu as r donc c facile)

A+

Posté par Guillaume (invité)re : suites 22-03-04 à 15:47

Désolé pour doublon!!!

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : suites 22-03-04 à 15:52

2)
a)
U1 = 12
U2 = 12+R
U3 = 12+2R
et R > 0

U1*U2*U3 = 3240

12*(12+R)*(12+2R) = 3240

(144+12R)(12+2R) = 3240
1728 + 288R + 144R + 24R² = 3240
24R² + 432R - 1512 = 0
R² + 18R - 63 = 0
Dont la seule racine > 0 est R = 3.
La raison de la suite est 3.

U5 = U1 + 4R = 12 + (4*3) = 24.
Le 5ème terme de la suite est 24.
---
b)
Up = U1 + (p-1)R
Up = 12 + 3(p-1)
Up > 100 si:
12 + 3(p-1)> 100
12 + 3p - 3 > 100
3p > 91
p > 30,333...

et comme p est entier, le plus petit entier p tel que Up soit supérieur
à 100 est p = 31.
-----
Sauf distraction.    

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : suites 22-03-04 à 15:55

Idem Guillaume pour le deuxième exercice.  



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