Bonjour,
j'ai un devoir à faire et je bloque sur une question: je n'arrive
pas à montrer avec la récurrence que 0 < Un < 1/2
avec Un+1 = 1,8 Un(1-Un)
Merci
Je connai pas Uo mais pour démontrer au rang n+1
on a : 0<1.8Un<0.9 (hyp de récurrence)
et 0.5<1-Un< 1
donc 0<U(n+1)<0.9
Est tu sur de ton énoncé car l'encadrement n'est pas assez
précis.
a+
Bonsoir
tout d'abord remarquez que si vous posez :
f(x)=1.8x(1-x)=1.8x-1.8x²
alors U(n+1)=f(Un)
pour montrer que 0<U(n+1)<1/2 nous alons étudier les variations de f.
Pour cela on va étudier le signe de sa dérivée f' sur ]0,1/2[
f'(x)=1.8-3.6x=1.8(1-2x)
f'(x)=0 ssi x=1/2
f'(x)<0 ssi x appartient à ]1/5,+oo[ et f est strictement décroissante sur
]1/5,+oo[
f'(x)>0 ssi x appartient à ]-oo,1/2[ et f est strictement croissante sur
]-oo,1/2[
donc f est strictement croissante sur ]0,1/2[
donc si 0<Un<1/2 comme f est strictement croissante sur [0,1/2[ on a:
f(0)<f(Un)<f(1/2)
ona : f(0)=0
et
f(1/2)=1.8*1/2*(1-1/2)=1.8/4=0.45<1/2
donc 0<f(Un)<1/2
comme U(n+1)=f(Un)
donc 0<U(n+1)<1/2
cqfd
voila bon courage
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