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suites

Posté par (invité) 29-03-04 à 18:19

Bonjour,
j'ai un devoir à faire et je bloque sur une question: je n'arrive
pas à montrer avec la récurrence que 0 < Un < 1/2
avec Un+1 = 1,8 Un(1-Un)
Merci

Posté par kevin (invité)re : suites 29-03-04 à 18:52

Je connai pas Uo mais pour démontrer au rang n+1
on a :  0<1.8Un<0.9 (hyp de récurrence)
         et 0.5<1-Un< 1
donc  0<U(n+1)<0.9  
Est tu sur de ton énoncé car l'encadrement n'est pas assez
précis.


a+

Posté par (invité)re : suites 29-03-04 à 22:09

Bonsoir

tout d'abord remarquez que si vous posez :

f(x)=1.8x(1-x)=1.8x-1.8x²

alors U(n+1)=f(Un)

pour montrer que 0<U(n+1)<1/2 nous alons étudier les variations de f.
Pour cela on va étudier le signe de sa dérivée f' sur ]0,1/2[

f'(x)=1.8-3.6x=1.8(1-2x)

f'(x)=0 ssi x=1/2

f'(x)<0 ssi x appartient à ]1/5,+oo[ et f est strictement décroissante sur
]1/5,+oo[

f'(x)>0 ssi x appartient à ]-oo,1/2[ et f est strictement croissante sur
]-oo,1/2[

donc f est strictement croissante sur ]0,1/2[

donc si 0<Un<1/2  comme f est strictement croissante sur [0,1/2[ on a:

f(0)<f(Un)<f(1/2)

ona : f(0)=0
et
f(1/2)=1.8*1/2*(1-1/2)=1.8/4=0.45<1/2

donc 0<f(Un)<1/2

comme U(n+1)=f(Un)

donc 0<U(n+1)<1/2

cqfd

voila bon courage

Posté par
watik
re : suites 29-03-04 à 22:10

rebonsoir désolé j'ai omis de me signer: WATIK

Posté par (invité)re : suites 29-03-04 à 22:12

merci bcp



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