salut
pas forcement. le mieux comme dans toute question
est de poser l'enoncé ENTIER.
si on sait que pour tout n u(n)=<v(n) ou
pour tout n u(n)>=v(n) on peut facilement conclure.

on sait que u0<v0 et j'ai déjà démontré que v-u est une suite géo et lim est 0

U(n+1)-u(n)=(2u(n)+v(n))/3-u(n)=(2u(n)-3u(n)+v(n))/3=(v(n)-u(n))/3
Il nous reste de démontrer que v(n)-u(n)>=0. On le fait par récurrence :
V0>u0
On suppose que V(n)>u(n)
V(n)+u(n)>u(n)+u(n)
V(n)+u(n)>2u(n)
V(n)+u(n)+v(n)>2u(n)+v(n)
2V(n)+u(n)>2u(n)+v(n)
(2V(n)+u(n))/3>(2u(n)+v(n))/3
v(n+1)>u(n+1)
la propriété est dc héréditaire et elle est vraie pour tout n. On a donc U(n+1)-u(n)>0 d'où la suite est croissante. Pareil pour la décroissance de v(n)

Bonsoir à tout le monde, j'ai une petite question.
J'ai deux suites u(n+1)=[2u(n)+v(n)]/3 et v(n+1)= [u(n)+2v(n)]/3  u0<v0
Elles sont adjacentes. Comment trouver leur limite commune ? Je vous remercie en avance…  


*** message déplacé ***

on peut dire que comme les suites sont adjacentes
u(n)<=l<=v(n) où l est la limite commune. Mais comment trouver l je sais pas

je ne sais pas si c'est bien ça mais si tu fais u(n+1) + v(n+1) tu as :

u(n+1)+ v(n+1) = [2u(n)+v(n)]/3 + [u(n)+2v(n)]/3
u(n+1)+ v(n+1) = [3u(n)+3v(n)]/3
u(n+1)+ v(n+1) = u(n)+ v(n)

c'est une suite constante et on sait que lorsque n tend vers +oo on a v(n) qui tend vers u(n).
donc u(n+1)+ v(n+1) tend vers 2*u(n)
et la limite de u(n+1)+ v(n+1) est u0+ v0 car suite constante.

donc la limite de u(n)= (u0+ v0)/2
cette limite est l
donc l= (u0+ v0)/2
salut

flofutureprof comment on sait que lorsque n tend vers +oo on a v(n) qui tend vers u(n).?

en fait c'est mal formulé...
j'ai dit "c'est une suite constante et on sait que lorsque n tend vers +oo on a v(n) qui tend vers u(n)";
alors qu'en fait il vaut mieux dire que v(n) tend vers l et que u(n) aussi car u et v sont adjacentes.

ensuite tu en déduis que u(n) + v(n) tend vers 2l
et comme tu sais que u(n) + v(n) = u(0) + v(0) pour tout n...
tu as bien  l= (u0+ v0)/2
voilà, c'est plus rigoureux comme ça

merci maintenent j'ai mieux compris