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suites adjacentes
Bonjour a tous
Voici un exercice sur lequel je bloque et c'est pourquoi je viens
demander de l'aide.
On pose u(n)=1-1/2+1/3-...+[(-1)^n-1]/n pour tout n entier naturel non
nul.
1-On pose v(n)=u(2n). Montrer que cette suite est croissante
2-On pose w(n)=u(2n+1). Montrer que cette suite est decroissante.
3-Montrer que (u(n)) et (v(n)) sont adjacentes.
4-On appelle l la limite commune de ces deux suites. Prouver que pour
tout n,
u(2n)<l<u(2n+1)
En deduire une valeur approchée de l à 10^-6 près (calculatrice)
5-Montrer que la suite (u(n)) converge vers l
Dans cet exercice seules les questions 4 et 5 me posent probleme. Pour
le reste pas de souci (mais j'ai quand meme mis tout l'exercice)
Je vous remercie d'avance.
alexis
1)
v(n) = u(2n)
v(n+1) = u(2.(n+1)) = u(2n+2)
u(2n+2) = u(2n) + [(-1)^(2n+1-1)]/(2n+1) + [(-1)^(2n+2-1)]/(2n+2)
u(2n+2) = u(2n) + [(-1)^(2n)]/(2n+1) + [(-1)^(2n+1)]/(2n+2)
u(2n+2) = u(2n) + [1/(2n+1)] - [1/(2n+2)]
u(2n+2) = u(2n) + [(2n+2-2n-1)/((2n+1)(2n+2))]
u(2n+2) = u(2n) + [1/((2n+1)(2n+2))]
u(2n+2) - u(2n) = 1/((2n+1)(2n+2))
u(2n+2) - u(2n) > 0
u(2n+2) > u(2n)
v(n+1) > v(n)
et donc vn est croissante.
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2)
w(n) = u(2n+1)
w(n+1) = u(2(n+1)+1) = u(2n+3)
w(n+1) = w(n) + [(-1)^(2n+2-1)]/(2n+2) + [(-1)^(2n+3-1)]/(2n+3)
w(n+1) = w(n) + [(-1)^(2n+1)]/(2n+2) + [(-1)^(2n+2)]/(2n+3)
w(n+1) = w(n) - [1/(2n+2)] + [1/(2n+3)]
w(n+1) = w(n) + [(-2n-3+2n+2)/(2n+2)(2n+3)]
w(n+1) = w(n) - [1/(2n+2)(2n+3)]
w(n+1) - w(n) = - [1/(2n+2)(2n+3)]
w(n+1) - w(n) < 0
w(n+1) < w(n)
et donc wn est décroissante.
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3) (c'est v(n) et w(n) qui sont adjacentes et pas u(n) comme le
dit l'énoncé ????)
v(n) - w(n) = u(2n) - u(2n+1)
avec u(2n+1) = u(2n) + [(-1)^(2n+1-1)]/(2n+1)
u(2n+1) = u(2n) + [(-1)^(2n)]/(2n+1)
u(2n+1) = u(2n) + [1/(2n+1)]
u(2n) - u(2n+1) = - 1/(2n+1)
u(2n) - u(2n+1) < 0
v(n) - w(n) < 0
v(n) < w(n) quel que soit n de N*
Donc on a:
vn est croissante.
et
wn est décroissante.
et
v(n) < w(n) quel que soit n de N*
->
(v(n)) et (w(n)) sont adjacentes.
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4)
Comme les suites vn et wn sont adjacentes, elles convergent vers la même
limite, appelons L cette limite.
Avec tout ce qui précède, on a:
v(n) < L < w(n)
u(2n) < L < u(2n+1)
L = 0,693147 à moins de 10^-6 près (à vérifier).
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5)
v(n) = u(2n)
lim(n->oo) u(2n) = lim(n->oo) v(n) = L
lim(n->oo) u(n) = L
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Sauf distraction. vérifie. 
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