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Suites adjacentes

Posté par
yassineben200
20-12-20 à 18:55

on considère les suites (Un) et (Vn) définies pas :
U0=a et V0=b
on a :   b>a>0

U_{n+1}=\sqrt{U_{n}V_{n}} \\
 \\ V_{n+1}=\frac{U_{n}+V_{n}}{2}
1)Mq les deux suites sont adjacentes...
j'ai dèja montrer que Vn et décroissante et Un croissante (si ça peut aider j'ai montrer au cours par réccurence que Vn>Un)
mais pour lim (Un-Vn) je n'ai aucune idée comment faire

Posté par
carpediem
re : Suites adjacentes 20-12-20 à 20:19

salut

calcule / exprime v_{n + 1} - u_{n + 1}  en fonction de v_n - u_n ...

Posté par
carpediem
re : Suites adjacentes 20-12-20 à 20:20

et n'oublie pas qu'un nombre positif est le carré de sa racine carrée ...

Posté par
yassineben200
re : Suites adjacentes 20-12-20 à 20:41

j'ai trouver que

carpediem @ 20-12-2020 à 20:19

salut

v_{n + 1} - u_{n + 1}=1/2(\sqrt{v_n} - \sqrt{u_n})^2 ...

que dois-je faire maintenant?

Posté par
carpediem
re : Suites adjacentes 20-12-20 à 22:09

v_{n + 1} - u_{n + 1} = \dfrac 1 2 (\sqrt{v_n} - \sqrt{u_n})^2

v_{n + 1} + u_{n + 1} = \dfrac 1 2 (\sqrt{v_n} + \sqrt{u_n})^2

donc en multipliant membre à membre :

v_{n + 1}^2 - u_{n + 1}^2 = \dfrac 1 4 (v_n - u_n)^2

Posté par
carpediem
re : Suites adjacentes 21-12-20 à 09:45

donc v_{n + 1} - u_{n + 1} \le \dfrac 1 {8u_0}(v_n - u_n)^2


puis par récurrence v_n - u_n \le \dfrac 1 {4^n \times 2u_0}(v_0 - u_0)^{2n}

Posté par
yassineben200
re : Suites adjacentes 21-12-20 à 18:44

je ne comprend pas comment vous avez enlever le carré ?

Posté par
carpediem
re : Suites adjacentes 21-12-20 à 19:33

v^2 - u^2 = (v - u)(v + u) >  2u(v - u) si u < v ...

Posté par
alwafi
re : Suites adjacentes 22-12-20 à 18:24

bonjour

v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}-\sqrt{u_nv_n}\leq\frac{u_n+v_n}{2}-u_n\leq\frac{1}{2}(v_n-u_n)

puis par récurrence:v_n-u_n\leq\frac{1}{2^n}(v_0-u_0)

Posté par
yassineben200
re : Suites adjacentes 24-12-20 à 09:41

merci beaucoup !



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