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Posté par
matheux14re : Suites adjacentes 15-11-21 à 16:22

matheux14 @ 15-11-2021 à 16:21

u_{n+1}^2-v_{n+1}^2 = \left(\dfrac{1}{4}\right)^n (u_1-v_1)^2

Pourquoi  est-ce que  u_{n+1}^2-v_{n+1}^2 = K(u_n-v_n)² \Rightarrow u_{n+1}^2-v_{n+1}^2 = K^n (u_1-v_1)² ?

Posté par
GBZMre : Suites adjacentes 15-11-21 à 16:53

Je t'ai déjà écrit que jsvdb s'était planté.

Il faut modifier pour trouver en fait une majoration de la forme K(u_n^2-v_n^2) à partir de l'égalité avec \dfrac14(u_n-v_n)^2

Posté par
matheux14re : Suites adjacentes 15-11-21 à 17:58

Oui c'est ce que j'ai fait à 16 h 22

Posté par
GBZMre : Suites adjacentes 15-11-21 à 22:13

De quoi ?
Je ne vois rien qui ressemble à ça.

Posté par
matheux14re : Suites adjacentes 15-11-21 à 22:40

u_{n+1}^2-v_{n+1}^2 = \dfrac{1}{4} (u_n-v_n)^2

On écrit alors u_{n+1}^2-v_{n+1}^2 = \left(\dfrac{1}{4}\right)^n (u_1-v_1)^2

Posté par
GBZMre : Suites adjacentes 15-11-21 à 22:44

Non ça ne va pas. Tu ne fais pas attention, tu fais comme si (u_n-v_n)^2 était la même chose que u_n^2-v_n^2.

Posté par
matheux14re : Suites adjacentes 15-11-21 à 22:46

Je fais bien attention, c'est juste que je ne comprends pas depuis le début..

Posté par
GBZMre : Suites adjacentes 15-11-21 à 23:02

Ben non, tu ne fais pas attention.
Tu as u_{n+1}^2-v_{n+1}^2= \dfrac14(u_n-v_n)^2. Au cran d'avant, u_{n}^2-v_{n}^2= \dfrac14(u_{n-1}-v_{n-1})^2. Tu ne réalises que ça coince, que (u_n-v_n)^2 et u_{n}^2-v_{n}^2 ce n'est pas la même chose ?

Posté par
matheux14re : Suites adjacentes 15-11-21 à 23:52

Mais comment trouver les limites des suites un et vn avec  u_{n}^2-v_{n}^2= \dfrac14(u_{n-1}-v_{n-1})^2

Posté par
GBZMre : Suites adjacentes 16-11-21 à 08:26

Déjà, de u_{n+1}^2-v_{n+1}^2=\dfrac14(u_n-v_n)^2, on peut déduire que 0<v_n<u_n pour tout n\geq1.
Ensuite, on peut en déduire u_{n+1}^2-v_{n+1}^2\leq\dfrac14(u_n^2-v_n^2) pour tout n\geq1 et donc  u_{n+1}^2-v_{n+1}^2\leq\dfrac1{4^n}(u_1^2-v_1^2). Je te laisse voir ça.

Posté par
matheux14re : Suites adjacentes 20-11-21 à 12:24

Pourriez vous me mettre un peu sur la voie ?

Parce que là je ne vois pas comment ça se fait..

Posté par
GBZMre : Suites adjacentes 20-11-21 à 14:25

Franchement, c'est un peu décourageant. Tu n'avances pas d'un millimètre sans qu'on te pousse fortement. Essaie  des trucs, fais preuve d'un peu plus d'initiative, bon sang !

On cherche à majorer \dfrac14(u_n-v_n)^2 par \dfrac14(u_n^2-v_n^2). On peut essayer

\dfrac14(u_n-v_n)^2 = \dfrac14\,{ \color{\red}{\dfrac{(u_n-v_n)^2 }{u_n^2-v_n^2}}}\, (u_n^2-v_n^2)

La fraction en rouge, on peut la simplifier, et alors on voit facilement qu'on peut la majorer par 1.

Posté par
carpediemre : Suites adjacentes 20-11-21 à 14:29

ou même avec v < u :

(u - v)^2 = u^2 - 2uv + v^2 \le u^2 - 2v^2 + v^2 = u^2 - v^2

Posté par
matheux14re : Suites adjacentes 20-11-21 à 17:19

\dfrac{(u_n-v_n)^2 }{u_n^2-v_n^2}=\dfrac{u_n-v_n}{u_n+v_n} < 1

Posté par
matheux14re : Suites adjacentes 20-11-21 à 17:48

Citation :
Franchement, c'est un peu décourageant. Tu n'avances pas d'un millimètre sans qu'on te pousse fortement. Essaie  des trucs, fais preuve d'un peu plus d'initiative, bon sang !


En fait il est bien là mon effort
matheux14 @ 19-10-2021 à 23:47

\forall n \ in \N ; u_n -v_n = \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{u_{n-1}}-\sqrt{v_{n-1}}\right)^2.

* un > 0 et (un) est décroissante alors (un) converge.

Lim (un) = p

* v_n < u_n et (vn) est croissante donc (vn)  est convergente.

On sait que : \lim (u_{n+1})=\lim u_n = \dfrac{1}{2} (p + p')=p \Rightarrow p=p'

Donc \lim (u_n -v_n) = p-p' = 0

Par suite (un) et (vn) sont adjacentes.


Mais j'ai l'impression qu'on veut trouver ce p= p' en passant par u_{n+1}^2-v_{n+1}^2\leq\dfrac1{4^n}(u_1^2-v_1^2) et j'aimerais bien savoir comment déterminer ce p=p'.

Posté par
GBZMre : Suites adjacentes 20-11-21 à 18:07

L'inégalité que tu viens d'écrire montre bien que \lim_{n\to \infty} u_n=\lim_{n\to \infty} v_n. Non ?

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