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Niveau maths sup
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Suites adjacentes

Posté par
matheux14
18-10-21 à 18:17

Bonjour,

1) Soient (un) et (vn) les suites données par :

u_0 > 0 ~;~ v_0 > 0 ~; ~ \begin{cases}u_{n+1}=\dfrac{u_n + v_n}{2} \\\\\\\ v_{n+1}=\sqrt{u_n v_n} \end{cases}

Montrer qu'elles sont adjacentes.

2) Étudier la convergence de \sqrt{n²+n+1}-\sqrt{n} ; \dfrac{n \sin n}{n²+1} et \dfrac{1}{n}+(-1)^n

1) Je n'arrive pas à montrer que (un) et (vn) sont monotone.  

Posté par
carpediem
re : Suites adjacentes 18-10-21 à 18:34

salut

1/ quelle est la définition de suites adjacentes ?

2/ comparer u_n $ et $ v_n

3/ il serait bien de finir ici : Suite



4/ au lieu de nous balancer encore un n-ième exo comme ici Limite de suite que tu ne finiras encore pas ...

Posté par
matheux14
re : Suites adjacentes 18-10-21 à 23:30

(un) et (vn) sont adjacentes si et seulement si :

1) (un) est croissante
2) (vn) est décroissante
3)  lim n→+∞
(un − vn) = 0

Posté par
matheux14
re : Suites adjacentes 18-10-21 à 23:30

Comment comparer un et vn ?

Posté par
carpediem
re : Suites adjacentes 18-10-21 à 23:42

ben quel est le plus grand ...

pour avoir quelle suite est croissante et quelle suite est décroissante ... et qu'il faudra le montrer ensuite ...

Posté par
matheux14
re : Suites adjacentes 19-10-21 à 00:03

un semble grand que vn.

Posté par
jsvdb
re : Suites adjacentes 19-10-21 à 00:06

Et si v_0 = 10^{45687} et u_0 = 0,00000000000000000001 ?

Posté par
matheux14
re : Suites adjacentes 19-10-21 à 00:12

Je ne vois pas ce que vous voulez me faire comprendre..

Pour un même n ; un semble grand que vn non ?

Posté par
jsvdb
re : Suites adjacentes 19-10-21 à 00:15

Bin non, puisque je t'ai trouvé un contre-exemple !

Posté par
matheux14
re : Suites adjacentes 19-10-21 à 00:17

Du coup n \neq 0

Posté par
jsvdb
re : Suites adjacentes 19-10-21 à 00:18

Ok, donc ce serait plutôt u_{n+1}-v_{n+1}\geq 0.
Alors u_{n+1}-v_{n+1}= ... ?

Posté par
matheux14
re : Suites adjacentes 19-10-21 à 00:27

u_{n+1}-v_{n+1}= \dfrac{u_n + v_n}{2}-\sqrt{u_n v_n}= \dfrac{u_n + v_n-2\sqrt{u_n v_n}}{2}

Posté par
jsvdb
re : Suites adjacentes 19-10-21 à 00:30

Et u_n + v_n-2\sqrt{u_n v_n}= ...~? (en notant que les termes des deux suites sont positifs.)

Posté par
matheux14
re : Suites adjacentes 19-10-21 à 00:48

Je ne vois pas comment simplifier cette expression..

Posté par
jsvdb
re : Suites adjacentes 19-10-21 à 00:54

tu connais pourtant tes identités remarquables !

Posté par
matheux14
re : Suites adjacentes 19-10-21 à 00:59



çà va faire u_n + v_n-2\sqrt{u_n v_n}=(\sqrt{u_n}-\sqrt{v_n})²

Posté par
jsvdb
re : Suites adjacentes 19-10-21 à 01:07

Oui, donc conclusion u_{n+1}-v_{n+1} = (\sqrt{u_n}-\sqrt{v_n})² \geq 0.
C'est donc u qui va décroître à partir du rang 1 et v qui va croître à partir du rang 1.
Et c'est ce qu'il faut donc démontrer.

u_{n+1}-u_n = ...

v_{n+1}-v_n = ...

Posté par
matheux14
re : Suites adjacentes 19-10-21 à 01:17

u_{n+1}-u_n =\dfrac{v_n -u_n}{2} et 
 \\ v_{n+1}-v_n = \sqrt{u_n v_n}-v_n

Posté par
matheux14
re : Suites adjacentes 19-10-21 à 01:20

Pour un ; il est tout de suite clair que c'est décroissant à partir du rang 1.. Mais je crois que ce n'est pas très clair pour vn

Posté par
jsvdb
re : Suites adjacentes 19-10-21 à 01:22

Oui, pour la suite u c'est tout de suite clair.
Comme la suite v est à terme positif, je te propose de calculer v_{n+1}^2-v_n^2 = ...

Posté par
matheux14
re : Suites adjacentes 19-10-21 à 01:36

 v_{n+1}^2-v_n^2 = v_n (u_n -v_n) \ge 0 \Rightarrow u_n v_n -v²_n 
 \\  \ge 0 \Rightarrow u_n v_n \ge v²_n \Rightarrow \sqrt{u_n v_n} \ge v_n \Rightarrow  \sqrt{u_n v_n} - v_n \ge 0

Donc  
 \\  \\ v_{n+1}-v_n = \sqrt{u_n v_n}-v_n \ge 0

Par conséquent (vn) est strictement croissante à partir du rang 1.

Posté par
matheux14
re : Suites adjacentes 19-10-21 à 02:07

Comment démontrer que \lim (v_n - u_n) = 0 ?

Posté par
jsvdb
re : Suites adjacentes 19-10-21 à 02:18

matheux14 @ 19-10-2021 à 01:36

 v_{n+1}^2-v_n^2 = v_n (u_n -v_n) \ge 0 \Rightarrow u_n v_n -v²_n 
 \\  \ge 0 \Rightarrow u_n v_n \ge v²_n \Rightarrow \sqrt{u_n v_n} \ge v_n \Rightarrow  \sqrt{u_n v_n} - v_n \ge 0

Donc  
 \\  \\ v_{n+1}-v_n = \sqrt{u_n v_n}-v_n \ge 0

Par conséquent (vn) est strictement croissante à partir du rang 1.


Faisons simple :

v_{n+1}^2-v_n^2 = v_n (u_n -v_n) \ge 0 et donc v_{n+1}-v_n \geq 0

En effet, la suite v est positive, donc les termes v_{n+1} et v_n sont rangés dans le même ordre que leur carré.

Posté par
jsvdb
re : Suites adjacentes 19-10-21 à 02:33

matheux14 @ 19-10-2021 à 02:07

Comment démontrer que \lim (v_n - u_n) = 0 ?

vérifier que u_{n+1}^2-v_{n+1}^2 = K(u_n^2-v_n^2) où K est à déterminer.
Ecrire alors u_{n+1}^2-v_{n+1}^2 = K^n(u_1^2-v_1^2) et conclure.

Autre méthode :

Les suites u et v sont telles que :
u v
u décroissante
v croissante

donc u et v admettent une limite que l'on va noter respectivement p et p'.
Quelle relation simple vérifient p et p' ? sachant que u_{n+1}=\frac{1}{2}(u_n+v_n)
Conclure.

Posté par
Razes
re : Suites adjacentes 19-10-21 à 15:01

Bonjour,

C'est un exercice classique très intéressant.

En complément à ce qui a été posté,  il y a la possibilité d'avoir une détermination explicite, en posant:
p_n=\ln (u_n+v_n); q_n=\ln (u_n-v_n)

On obtient des expressions simples de p_n; q_n en fonction de u_0;v_0; n puis on en déduit u_n;v_n.

Posté par
carpediem
re : Suites adjacentes 19-10-21 à 18:30

pour la variation des suites on peut faire plus simple une fois qu'on a vu que pour n > 0 : 0 \le v_n \le u_n :

u_{n + 1} = \dfrac 1 2(u_n + v_n) \le \dfrac 1 2 (u_n + u_n) = u_n
 \\ 
 \\ v_{n + 1} = \sqrt {u_nv_n} \ge \sqrt {v_nv_n} = v_n



donc la suite (u_n) est décroissante et minorée (par v_1) et elle converge
et la suite (v_n) est croissante et majorée (par u_1) et elle converge

et pour finir :

u_{n + 1} - v_{n + 1} = (\sqrt {u_n} - \sqrt {v_n})^2 \le \dfrac {(u_n - v_n)^2} {(\sqrt {u_n} + \sqrt {v_n})^2} \le \dfrac {(u_n - v_n)^2}{4v_1} \le \dfrac {u_1 - v_1} {4v_1} (u_n - v_n)

qui permet parfois de conclure ...

Posté par
matheux14
re : Suites adjacentes 19-10-21 à 19:13

Citation :
vérifier que u_{n+1}^2-v_{n+1}^2 = K(u_n^2-v_n^2) où K est à déterminer.
Ecrire alors u_{n+1}^2-v_{n+1}^2 = K^n(u_1^2-v_1^2) et conclure.


u²_{n+1}-v²_{n+1}=\left(\dfrac{u_n + v_n}{2}\right)^2-(\sqrt{u_n v_n})²=\dfrac{1}{4}u²_n}+\dfrac{1}{4}v²_n-\dfrac{1}{2}u_n v_n=\dfrac{1}{4}(u²_n +v²_n)-\dfrac{1}{2}u_n v_n

Posté par
matheux14
re : Suites adjacentes 19-10-21 à 19:14

Razes @ 19-10-2021 à 15:01

Bonjour,

C'est un exercice classique très intéressant.

En complément à ce qui a été posté,  il y a la possibilité d'avoir une détermination explicite, en posant:
p_n=\ln (u_n+v_n); q_n=\ln (u_n-v_n)

On obtient des expressions simples de p_n; q_n en fonction de u_0;v_0; n puis on en déduit u_n;v_n.


J'ai pas compris.. comment cela se passe ?

Posté par
matheux14
re : Suites adjacentes 19-10-21 à 19:15

carpediem j'ai pas compris votre méthode également

Posté par
carpediem
re : Suites adjacentes 19-10-21 à 20:11

dommage ...

ça veut donc dire qu'il va falloir prendre une feuille et un crayon pour travailler et penser ce que j'ai écrit ...

Posté par
matheux14
re : Suites adjacentes 19-10-21 à 20:16

C'est ce que je fais mais je ne vois pas comment conclure..

Posté par
matheux14
re : Suites adjacentes 19-10-21 à 23:47

\forall n \ in \N ; u_n -v_n = \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{u_{n-1}}-\sqrt{v_{n-1}}\right)^2.

* un > 0 et (un) est décroissante alors (un) converge.

Lim (un) = p

* v_n < u_n et (vn) est croissante donc (vn)  est convergente.

On sait que : \lim (u_{n+1})=\lim u_n = \dfrac{1}{2} (p + p')=p \Rightarrow p=p'

Donc \lim (u_n -v_n) = p-p' = 0

Par suite (un) et (vn) sont adjacentes.

Posté par
matheux14
re : Suites adjacentes 20-10-21 à 18:54

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites adjacentes 21-10-21 à 14:11

Bonjour,

Citation :
* v_n < u_n et (vn) est croissante donc (vn) est convergente.
Il manque quelque chose.
Tu n'as pas majoré la suite (vn) par un réel fixe.

Posté par
carpediem
re : Suites adjacentes 21-10-21 à 14:18

et puis il nous le fait à l'envers !!

le but est de montrer qu'elles sont adjacentes pour conclure qu'elles ont même limite !!!

pas le contraire ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites adjacentes 21-10-21 à 15:06

Ça, on ne sait pas.
C'est l'autre méthode donnée par jsvdb le 19 à 2h33.

Posté par
carpediem
re : Suites adjacentes 21-10-21 à 16:03

certes mais c'est classiquement le travail ...

parce que bon si on sait qu'elles ont même limite on ne va plus se casser la tête à savoir si elles sont adjacentes ou pas ...

Posté par
matheux14
re : Suites adjacentes 21-10-21 à 22:07

Bonsoir, comment trouver K dans la méthode de jsvdb

Et comment déduire les expressions de un et vn comme le propose Razes

Posté par
matheux14
re : Suites adjacentes 15-11-21 à 09:18

jsvdb @ 19-10-2021 à 02:33

matheux14 @ 19-10-2021 à 02:07

Comment démontrer que \lim (v_n - u_n) = 0 ?

vérifier que u_{n+1}^2-v_{n+1}^2 = K(u_n^2-v_n^2) où K est à déterminer.
Ecrire alors u_{n+1}^2-v_{n+1}^2 = K^n(u_1^2-v_1^2) et conclure.

Autre méthode :

Les suites u et v sont telles que :
u v
u décroissante
v croissante

donc u et v admettent une limite que l'on va noter respectivement p et p'.
Quelle relation simple vérifient p et p' ? sachant que u_{n+1}=\frac{1}{2}(u_n+v_n)
Conclure.


Bonjour, comment trouver K ?

Posté par
GBZM
re : Suites adjacentes 15-11-21 à 09:54

Bonjour,

En prenant une feuille de papier et un crayon, en calculant u_{n+1}^2 et v_{n+1}^2 en fonction de u_n et v_n à partir des formules de récurrence, et en soustrayant v_{n+1}^2 de u_{n+1}^2.
What else ?

Posté par
matheux14
re : Suites adjacentes 15-11-21 à 10:14

u_{n+1}^2-v_{n+1}^2 = \dfrac{1}{4}(u_n +v_n)²-u_n v_n

Posté par
GBZM
re : Suites adjacentes 15-11-21 à 10:16

Ensuite ?
Ne reste pas les deux pieds dans le même sabot.

Posté par
matheux14
re : Suites adjacentes 15-11-21 à 10:33

\dfrac{1}{4}(u_n +v_n)²-u_n v_n = K(u_n^2-v_n^2) \Rightarrow K= \dfrac{(1/4) (u_n ²+v_n ²)-u_n v_n}{u_n ² -v_n ²}

Posté par
GBZM
re : Suites adjacentes 15-11-21 à 11:09

Il ne te viendrait pas à l'idée de transformer \dfrac14(u_n+v_n)^2-u_nv_n pour faire apparaître quelque chose de plus simple ?
Tu verras ensuite que jsvdb s'est un peu planté, Mais commence par trouver une forme sympathique pour u_{n+1}^2-v_{n+1}^2.

Posté par
matheux14
re : Suites adjacentes 15-11-21 à 11:51

\dfrac14(u_n+v_n)^2-u_nv_n= \left(\dfrac{u_n +v_n}{2}-\sqrt{u_n v_n} \right)\left( \dfrac{u_n +v_n}{2}+\sqrt{u_n v_n} \right)

Posté par
GBZM
re : Suites adjacentes 15-11-21 à 12:20


Je craque...


 \\ \dfrac14(u_n+v_n)^2-u_nv_n= \dfrac{u_n^2+2u_nv_n+v_n^2-4u_nv_n}4=\dfrac{(u_n-v_n)^2}4

Posté par
Razes
re : Suites adjacentes 15-11-21 à 12:22


Factoriser par \frac 14 puis développe ce qu'il y a à l'intérieur, smplifie puis factorise.

Posté par
matheux14
re : Suites adjacentes 15-11-21 à 12:49

Mais moi j'avais que le K(u²n-v²n) en tête..

Du coup u_{n+1}^2-v_{n+1}^2 = \left(\dfrac{1}{4}\right)^n (u_1^2-v_1^2)

Mais j'ai pas compris pourquoi u_{n+1}^2-v_{n+1}^2 = K(u_n^2-v_n^2) \Rightarrow u_{n+1}^2-v_{n+1}^2 = K^n (u_1^2-v_1^2)

Posté par
GBZM
re : Suites adjacentes 15-11-21 à 14:06

Fais attention !! (u_n-v_n)^2, ce n'est pas la même chose que u_n^2-v_n^2
C'est pour cela que j'ai écrit que jsvdb s'est fichu dedans.
Tu as de grosses marges de progression sur l'attention et sur l'initiative !

Posté par
matheux14
re : Suites adjacentes 15-11-21 à 16:21

u_{n+1}^2-v_{n+1}^2 = \left(\dfrac{1}{4}\right)^n (u_1-v_1)^2

Pourquoi  est-ce que  u_{n+1}^2-v_{n+1}^2 = K(u_n^2-v_n^2) \Rightarrow u_{n+1}^2-v_{n+1}^2 = K^n (u_1-v_1)² ?

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